Trang Chủ Lớp 12 Bài tập SGK lớp 12

Bài tập 1,2,3,4,5 trang 23, 24 giải tích 12 (Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số)

Hướng dẫn giải các bài tập sách giáo khoa bài: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số. Bài 1 trang 23 và bài 2,3,4,5 trang 24 SGK giải tích 12. Bài tập thuộc chương 1 – giải tích lớp 12.

Giải bài tập giá trị lớn nhất nhỏ nhất trong SGK trang 23, 24

Bài 1. Tính giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số:

a) y = x³ – 3x²– 9x + 35 trên các đoạn [-4; 4] và [0;5] ;

b) y = x⁴ – 3x²+ 2 trên các đoạn [0;3] và [2;5] ;

c) y = (2-x)/ (1-x) trên các đoạn [2;4] và [-3;-2] ;

d) y =√ (5-4x) trên đoạn [-1;1] .

Giải: a) Hàm số liên tục trên các đoạn [-4;4] và [0;5] nên có GTLN và GTNN trên mỗi đoạn này. Ta có : y’ = 3x² – 6x – 9 = 3(x² – 2x – 3) ;

y’ = 0 ⇔ x² – 2x – 3 = 0 ⇔ x = -1, x = 3.

– Do -1 ∈ [-4;4], 3 ∈ [-4;4] nên maxy[-4;4] = max{y(-4), y(4), y(-1), y(3)} = max {-41 ; 15 ; 40 ; 8} = 40 .

miny[-4;4] = min{y(-4), y(4), y(-1), y(3)} = min{-41 ; 15 ; 40 ; 8} = -41 .

– Do -1 ∉ [0;5], 3 ∈ [0;5] nên

maxy[0;5] = max{y(0), y(5), y(3)} = max {35 ; 40 ; 8} = 40 miny[0;5] = min{y(0), y(5), y(3)} = max {35 ; 40 ; 8} = 8

b) maxy[0;3] = 56 , miny[0;3] =-1/4
, maxy[2;5] = 552 , miny[2;5] = 6 .

c) Hàm số có tập xác định D = R \{1} và liên tục trên các đoạn [2;4] và [-3;-2] thuộc D, do đó có GTLN, GTNN trên mỗi đoạn này. Ta có :

Do đó maxy[2;4] = max {y(2) , y(4)} = max {0 ; 2/3} = 2/3 ;

miny[2;4] = min {y(2) , y(4)} = min {0 ; 2/3} = 0 .

maxy[-3;-2] = max {y(-3) , y(-2)} = max {5/4;4/3} = 4/3 ;

miny[-3;-2] = min {y(-3) , y(-2)} = max {5/4 ; 4/3} = 5/4

d) Hàm số có tập xác định D = (-∞ ; 5/4] và liên tục trên đoạn [-1 ; 1] thuộc D, do đó có GTLN, GTNN trên đoạn này. Ta có : , ∀x < 5/4 . Do đó :

Advertisements (Quảng cáo)

maxy[-1;1] = max {y(-1) , y(1)} = max {3 ; 1} = 3 ;

miny[-1;1] = min {y(-1) , y(1)} = min {3 ; 1} = 1 .

Bài 2. Trong số các hình chữ nhật cùng có chu vi 16 cm, hãy tìm hình chữ nhật có diện tích lớn nhất.

Kí hiệu x, y thứ tự là chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật (0 < x, y < 16). Khi đó x + y = 8. Theo bất đẳng thức Cô-si, ta có : 8 = x + y ≥2√xy⇔ xy ≤ 16.

xy =16 ⇔ x = y = 4. Vậy diện tích hình chữ nhật lớn nhất bằng 16 cm²khi x = y = 4(cm), tức là khi hình chữ nhật là hình vuông.

Bài 3: Trong tất cả các hình chữ nhật cùng có diện tích 48 m², hãy xác định hình chữ nhật có chu vi nhỏ nhất.

Kí hiệu x, y thứ tự là chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật (x, y > 0). Khi đó xy = 48. Theo bất đẳng thức Cô-si, ta có : x+y≥2√xy = 2√48 =8√3.

x+y=8√3 ⇔ x = y = 4√3. Vậy chu vi hình chữ nhật nhỏ nhất bằng 2(x+y)=16√3 (m)khi x= y =4√3 (m), tức là khi hình chữ nhật là hình vuông.

Bài 4. Tính giá trị lớn nhất của các hàm số sau:

a) y = 4/(1+x²) b) y = 4x³ – 3x⁴

Giải: a) Tập xác định

Advertisements (Quảng cáo)

Ta có bảng biến thiên : (HS tự vẽ)

Từ bảng biến thiên ta thấy = 4 .

b) Tập xác định D = R. y’ = 12x² – 12x³ = 12x² (1 – x) ;

y’ = 0 ⇔ x = 0, x = 1 ;

Ta có bảng biến thiên :

Từ bảng biến thiên ta thấy = 1 .

Bài 5. Tính giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:

a) y = |x| ; b) y = x+4/x ( x > 0).

Giải: a) y = |x|
Tập xác định D = R. Ta biết rằng hàm số liên tục tại x = 0 nhưng không có đạo hàm tại điểm này. Ta có bảng biến thiên :

Từ bảng biến thiên ta thấy = 0.

b) Tập xác định D = (0 ; +∞ ). ; y’ = 0 ⇔ x = 2 (do x > 0);

Ta có bảng biến thiên : (HS tự vẽ)

Từ bảng biến thiên ta thấy = 4.

Tóm tắt kiến thức

1. Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập D.

– Số M là giá trị lớn nhất (GTLN) của hàm số f trên D ⇔

Kí hiệu :

– Số m là giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số f trên D ⇔

Kí hiệu:

2. Hàm số liên tục trên một đoạn thì có GTLN và GTNN trên đoạn đó.

3. Quy tắc tìm GTLN, GTNN của hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a ; b]

– Tìm các điểm x_i∈ (a ; b)(i = 1, 2, . . . , n) mà tại đó f'(x_i) = 0 hoặc f'(x_i) không xác định.

– Tính f(a), f(b), f(x_i) (i = 1, 2, . . . , n) .

– Khi đó :

4. Để tìm GTLN, GTNN của hàm số y=f(x) xác định trên tập hợp D, ta có thể khảo sát sự biến thiên của hàm số trên D, rồi căn cứ vào bảng biến thiên của hàm số mà kết luận về GTLN và GTNN của hàm số.

Bài tập luyện về giá trị lớn nhất, nhỏ nhất (có đáp án)

5 Bai tap luyen gia tri lon nhat nho nhat