Bài 1,2,3,4,5,6 trang 57,58 sgk đại số và giải tích 11: Nhị thức Niu – Tơn

Đáp án và hướng dẫn Giải bài 1 trang 57; bài 2,3,4,5,6 trang 58 sgk đại số và giải tích 11: Nhị thức Niu – Tơn – chương 2.

Bài 1. Viết khai triển theo công thức nhị thức Niu – Tơn:
a) (a + 2b)⁵;                          b) (a – √2)⁶;

c) (x – 1/x)¹³.

Đáp án: a) Theo dòng 5 của tam giác Pascal, ta có:

(a + 2b)⁵= a⁵ + 5a⁴ (2b) + 10a³(2b)² + 10a² (2b)³ + 5a (2b)⁴ + (2b)⁵

= a⁵ + 10a⁴b + 40a³b² + 80a²b³ + 80ab⁴ + 32b⁵

b) Theo dòng 6 của tam giác Pascal, ta có:

(a – √2)⁶ = [a + (-√2)]⁶ = a⁶ + 6a⁵ (-√2) + 15a⁴ (-√2)² + 20a³ (-√2)³ + 15a² (-√2)⁴ + 6a(-√2)⁵ + (-√2)⁶.

= a⁶ – 6√2a⁵ + 30a⁴ – 40√2a³ + 60a² – 24√2a + 8.

c) Theo công thức nhị thức Niu – Tơn, ta có:

Nhận xét: Trong trường hợp số mũ n khá nhỏ (chẳng hạn trong các câu a) và b) trên đây) thì ta có thể sử dụng tam giác Pascal để tính nhanh các hệ số của khai triển.

---

Bài 2 trang 58. Tìm hệ số của x³ trong khai triển của biểu thức:

Trong tổng này, số hạng C^k₆ . 2^k . x^{6 – 3k} có số mũ của x bằng 3 khi và chỉ khi

  ⇔ k = 1.

Do đó hệ số của x³ trong khai triển của biểu thức đã cho là:

2 . C¹₆ = 2 . 6 = 12.

---

Bài 3. Biết hệ số của x²trong khai triển của (1 – 3x)ⁿ là 90. Tìm n.

Giải: Với số thực x ≠ 0 và với mọi số tự nhiên n ≥ 1, ta có:

(1 – 3x)ⁿ = [1 – (3x)]ⁿ = C^k_n (1)^{n – k} (-3)^k . x^k.

Suy ra hệ số của x²trong khai triển này là 3²C²_n .Theo giả thiết, ta có:

3²C²_n = 90 => C²_n = 10.

Từ đó ta có:

 = 10 ⇔ n(n – 1) = 20.

⇔ n² – n – 20 = 0 ⇔ n = -4 (loại) hoặc n = 5.

ĐS: n = 5.

---

Bài 4 Đại số và giải tích lớp 11. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển của (x³ +1/x)⁸

Giải: Ta có: (x³ +1/x)⁸=

Trong tổng này, số hạng C^k₈ x^{24 – 4k} không chứa x khi và chỉ khi

 ⇔ k = 6.

Vậy số hạng không chứa x trong khai triển (theo công thức nhị thức Niu – Tơn) của biểu thức đã cho là C⁶₈ = 28.

---

Bài 5. Từ khai triển biểu thức (3x – 4)¹⁷ thành đa thức, hãy tính tổng các hệ số của đa thức nhận được:

Tổng các hệ số của đa thức f(x) = (3x – 4)¹⁷ bằng:

f(1) = (3 – 4)¹⁷= (– 1)¹⁷ = -1.

---

Bài 6 trang 58 . Chứng minh rằng:
a) 11¹⁰ – 1 chia hết cho 100;

b) 101¹⁰⁰– 1 chia hết cho 10 000;

c) √10[(1 + √10)¹⁰⁰ – (1- √10)¹⁰⁰] là một số nguyên.

Giải: a) 11¹⁰ – 1 = (1 + 10)¹⁰ – 1 = (1 + C¹₁₀ 10 + C²₁₀10² + … +C⁹₁₀ 10⁹ + 10¹⁰) – 1

= 10² + C²₁₀10² +…+ C⁹₁₀ 10⁹ + 10¹⁰.

Tổng sau cùng chia hết cho 100 suy ra 11¹⁰ – 1 chia hết cho 100.

b) Ta có

101¹⁰⁰ – 1 = (1 + 100)¹⁰⁰ – 1

= (1 + C¹₁₀₀ 100 + C²₁₀₀ 100² + …+C⁹⁹₁₀₀ 100⁹⁹ + 100¹⁰⁰) – 1.

= 100² + C²₁₀₀100² + …+C⁹⁹₁₀₀100⁹⁹ + 100¹⁰⁰.

Tổng sau cùng chia hết cho 10 000 suy ra 101¹⁰⁰ – 1 chia hết cho 10 000.

c)

Tổng sau cùng là một số nguyên, suy ra √10[(1 + √10)¹⁰⁰ – (1 – √10)¹⁰⁰] là một số nguyên.