Trang Chủ Lớp 11 Bài tập SGK lớp 11

Bài 1,2,3,4,5,6 trang 57,58 sgk đại số và giải tích 11: Nhị thức Niu – Tơn

CHIA SẺ

Đáp án và hướng dẫn Giải bài 1 trang 57; bài 2,3,4,5,6 trang 58 sgk đại số và giải tích 11: Nhị thức Niu – Tơn – chương 2.

Bài 1. Viết khai triển theo công thức nhị thức Niu – Tơn:
a) (a + 2b)5;                          b) (a – √2)6;

c) (x – 1/x)13.

Đáp án: a) Theo dòng 5 của tam giác Pascal, ta có:

(a + 2b)5= a5 + 5a4 (2b) + 10a3(2b)2 + 10a2 (2b)3 + 5a (2b)4 + (2b)5

= a5 + 10a4b + 40a3b2 + 80a2b3 + 80ab4 + 32b5

b) Theo dòng 6 của tam giác Pascal, ta có:

(a – √2)6 = [a + (-√2)]6 = a6 + 6a5 (-√2) + 15a4 (-√2)2 + 20a3 (-√2)3 + 15a2 (-√2)4 + 6a(-√2)5 + (-√2)6.

= a6 – 6√2a5 + 30a4 – 40√2a3 + 60a2 – 24√2a + 8.

c) Theo công thức nhị thức Niu – Tơn, ta có:

bai1

Nhận xét: Trong trường hợp số mũ n khá nhỏ (chẳng hạn trong các câu a) và b) trên đây) thì ta có thể sử dụng tam giác Pascal để tính nhanh các hệ số của khai triển.


Bài 2 trang 58. Tìm hệ số của x3 trong khai triển của biểu thức: bai2

Giải:

dap2

Trong tổng này, số hạng Ck6 . 2k . x6 – 3k có số mũ của x bằng 3 khi và chỉ khi

dap2_1  ⇔ k = 1.

Do đó hệ số của x3 trong khai triển của biểu thức đã cho là:

2 . C16 = 2 . 6 = 12.


Bài 3. Biết hệ số của x2trong khai triển của (1 – 3x)n là 90. Tìm n.

Giải: Với số thực x ≠ 0 và với mọi số tự nhiên n ≥ 1, ta có:

(1 – 3x)n = [1 – (3x)]n = 2015-10-06_224044Ckn (1)n – k (-3)k . xk.

Suy ra hệ số của x2trong khai triển này là 32C2n .Theo giả thiết, ta có:

32C2n = 90 => C2n = 10.

Từ đó ta có:

2015-10-06_224101 = 10 ⇔ n(n – 1) = 20.

⇔ n2 – n – 20 = 0 ⇔ n = -4 (loại) hoặc n = 5.

ĐS: n = 5.


Bài 4 Đại số và giải tích lớp 11. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển của (x3 +1/x)8

Giải: Ta có: (x3 +1/x)8=2015-10-06_224157

Trong tổng này, số hạng Ck8 x24 – 4k không chứa x khi và chỉ khi

2015-10-06_224217 ⇔ k = 6.

Vậy số hạng không chứa x trong khai triển (theo công thức nhị thức Niu – Tơn) của biểu thức đã cho là C68 = 28.


Bài 5. Từ khai triển biểu thức (3x – 4)17 thành đa thức, hãy tính tổng các hệ số của đa thức nhận được:

Tổng các hệ số của đa thức f(x) = (3x – 4)17 bằng:

f(1) = (3 – 4)17= (– 1)17 = -1.


Bài 6 trang 58 . Chứng minh rằng:
a) 1110 – 1 chia hết cho 100;

b) 101100– 1 chia hết cho 10 000;

c) √10[(1 + √10)100 – (1- √10)100] là một số nguyên.

Giải: a) 1110 – 1 = (1 + 10)10 – 1 = (1 + C110 10 + C210102 + … +C910 109 + 1010) – 1

= 102 + C210102 +…+ C910 109 + 1010.

Tổng sau cùng chia hết cho 100 suy ra 1110 – 1 chia hết cho 100.

b) Ta có

101100 – 1 = (1 + 100)100 – 1

= (1 + C1100 100 + C2100 1002 + …+C99100 10099 + 100100) – 1.

= 1002 + C21001002 + …+C9910010099 + 100100.

Tổng sau cùng chia hết cho 10 000 suy ra 101100 – 1 chia hết cho 10 000.

c) dap an cau c

Tổng sau cùng là một số nguyên, suy ra √10[(1 + √10)100 – (1 – √10)100] là một số nguyên.

CHIA SẺ