Trang Chủ Lớp 11 Bài tập SGK lớp 11

Giải bài 1,2,3,4,5 trang 92 đại số giải tích 11: Dãy số

CHIA SẺ

Dãy số – Chương 3 (Toán 11): Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 92 SGK đại số giải tích.

Bài 1. Viết năm số hạng đầu của các dãy-số có số hạng tổng quát ucho bởi công thức:bai1

Năm số hạng đầu của dãy số là:

a)  u1 = 1; u2 = 2/3, u3 = 3/7; u4 =4/15; u5 =5/31

b) u1 = 1/3; u2 = 3/5, u3 = 7/9; u4 =15/17; u5 =31/33

c)  u1 = 2; u2 = 9/4, u3 = 64/27; u4 = 625/256; u5 = 7776/3125

d) u1 = 1/√2; u2 = 2/√5, u3 = 3/√10; u4 =4/√17; u5 =5/√26


Bài 2 trang 92 . Cho dãy-số Un , biết:

u1 = -1; un+1 = un +3 với n ≥ 1.

a) Viết năm số hạng đầu

b) Chứng minh bằng phương pháp quy nạp: un = 3n -4.

HD.a) Năm số hạng đầu  là -1, 2, 5, 8, 11.

b) Chứng minh un  = 3n – 4 bằng phương pháp quy nạp:

Với n =1 thì u1 3.1 – 4 = -1, đúng.

Giả sử hệ thức đúng với n = k ≥ 1, tức là uk = 3k -4. Ta chứng minh hệ thức cũng đúng với n = k + 1.

Thật vậy, theo công thức của Dãysố và giả thiết quy nạp, ta có:

uk+1 =  uk + 3 = 3k – 4 + 3 = 3(k + 1) – 4.

Vậy hệ thức đúng với mọi n ∈ N*  , tức là công thức đã được chứng minh.


Bài 3 trang 92 . Dãysố ucho bởi: u1 = 3; 2015-11-16_224413, n ≥ 1.

a) Viết năm số hạng đầu

b) Dự đoán công thức số hạng tổng quát và chứng minh côngt hức đó bằng phương pháp quy nạp

HD. a) Năm số hạng đầu của dãysố là 3, √10, √11, √12, √13.

b) Ta có:  u1 = 3 = √9 = √(1 + 8)

u2 = √10 = √(2 + 8)

u3 = √11 = √(3 + 8)

u4 = √12 = √(4 + 8)

…….

Từ trên ta dự đoán un = √(n + 8), với n ∈ N*  (1)

Chứng minh công thức (1) bằng phương pháp quy nạp:

– Với n = 1, rõ ràng công thức (1) là đúng.

– Giả sử (1) đúng với n = k ≥ 1, tức là có  uk = √(k + 8) với k ≥ 1.

Theo công thức dãysố, ta có:    2015-11-16_224538

Như vậy công thức (1) đúng với n = k + 1.

Vậy công thức (1) được chứng minh.


Bài 4. Xét tính tăng, giảm của các dãysố ubiết:
bai4

a)

a

Vậy dãy-số đã cho là giảm.

b) Xét hiệu

b

Vậy un+1 > uvới mọi n ε Nhay dãy số đã cho là tăng.

c) Các số hạng ban đầu vì có thừa số (-1)n, nên dãy-số không tăng và cũng không giảm.

d) Làm tương tự như câu a) và b) hoặc lập tỉ số un+1 / un
(vì un > 0  với mọi n ε N* ) rồi so sánh với 1.

Ta cód với mọi n  N*

Vậy dãy số đã cho là giảm dần.


Bài 5. Trong các dãy số sau, bị chặn dưới, bịchặn trên, bị chặn?

bi5

a) Dãy số bị chặn dưới vì un = 2n2 -1 ≥ 1 với mọi n ε  N và không bịchặn trên vì với số M dương lớn bất kì, ta có 2n2 -1 > M ⇔2015-11-16_230540
b) Dễ thấy un > 0 với mọi n ε  N*  
Mặt khác, vì n ≥ 1 nên n2 ≥ 1 và 2n ≥ 2.
Do đó n(n + 2) =  n2 + 2n ≥ 3, suy ra 2015-11-16_230449
Vậy dãysố bịchặn 0 < u ≤ 1/3
với mọi n ε  N*  
c) Vì n ≥ 1 nên 2n2 – 1 > 0, suy ra 2015-11-16_230331
Mặt khác n2 ≥ 1 nên 2n2 ≥ 2 hay 2n2 – 1≥ 1, suy ra
2015-11-16_230303
Vậy 0 < un ≤ 1, với mọi n ∈ N*   , tức dãysố bị chặn.
d) Ta có: sinn + cosn = √2sin(n + π/4), với mọi n. Do đó:
-√2 ≤ sinn + cosn ≤ √2 với mọi n ∈ N*  
Vậy -√2  < u< √2, với mọi n ∈ N*   .