Đáp án và Giải bài 1, 2, 3, 4, 5, 6 trang 74, Bài 7 trang 75 SGK đại số và giải tích 11: Xác xuất và biến cố – chương 2.
Bài 1. Gieo ngẫu nhiên một con súc sắc cân đối và đồng chất hai lần.
a) Hãy mô tả không gian mẫu.
b) Xác định các biến cố sau:
A: “Tổng số chấm xuất hiện trong hai lần gieo không bé hơn 10”;
B: “Mặt % chấm xuất hiện ít nhất một lần”.
c) Tính P(A), P(B).
Lời giải: Phép thử T được xét là “Gieo một con súc sắc cân đối và đồng chất hai lần”.
a) Ω = {(i, j) | i, j = 1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Số phần tử của không gian mẫu là n(Ω) = 36.
Do tính đối xứng của con súc sắc và tính độc lập của mỗi lần gieo suy ra các kết quả có thể có của phép thử T là đồng khả năng.
b) A = {(6, 4), (4, 6), (5, 5), (6, 5), (5, 6), (6, 6)},
B = {(1, 5), (2, 5), (3, 5), (4, 5), (5, 5), (6, 5), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 6)}.
c) P(A) = 6/36= 1/36; P(B) =11/36.
Bài 2 trang 74. Có bốn tấm bìa được đánh số từ 1 đến 4. Rút ngẫu nhiên ba tấm.
a) Hãy mô tả không gian mẫu.
b) Xác định các biến cố sau:
A: “Tổng các số trên ba tấm bìa bằng 8”;
B: “Các số trên ba tấm bìa là ba số tự nhiên liên tiếp”.
c) Tính P(A), P(B).
Đáp án bài 2: Phép thử T được xét là: “Từ bốn tấm bìa đã cho, rút ngẫu nhiên ba tâm”.
a) Đồng nhất số i với tấm bìa được đánh số i, i =¯1,6, ta có: mỗi một kết quả có thể có của phép thử T là một tổ hợp chập 3 của 4 số 1, 2, 3, 4. Do đó không gian mẫu là:
Ω = {(1, 2, 3), (1, 2, 4), (1, 3, 4), (2, 3, 4)}.
Số phần tử của không gian mẫu là n(Ω) = C34 = 4.
Vì lấy ngẫu nhiên, nên các kết quả cso thể có của phép thử T là đồng khả năng.
b) A = {(1, 3, 4)}; B = {(1, 2, 3), (2, 3, 4)}
c) P(A) =1/4; P(B) =2/4 =1/2
Bài 3. Một người chọn ngẫu nhiên hai chiếc giày từ bốn đôi giày cỡ khác nhau.
Tính xác suất để hai chiếc chọn được tạo thành một đôi.
Giải: Phép thử T được xét là: “Lấy ngẫu nhiên 2 chiếc giày từ 4 đôi giày có cỡ khác nhau”.
Advertisements (Quảng cáo)
Mỗi một kết quả có thể là một tổ hợp chập 2 của 8 chiếc giày. Do đó số các kết quả có thể có thể có của phép thử T là n(Ω) = C28 = 8!/(2!6!)= 28.
Vì lấy ngẫu nhiên, nên các kết quả có thể có của phép thử T là đồng khả năng. Gọi A là biến cố: “Lấy được hai chiếc giày tạo thành một đôi”. Mỗi một kết quả có thể có thuận lợi cho A là một đôi giày trong 4 đôi giày đã cho. Do đó số các kết quả có thể có thuận lợi cho A là n(A) = 4. Suy ra P(A) = 4/28= 1/7.
Bài 4. Gieo một con súc sắc cân đối và đồng chất. Giả sử con súc sắc xuất hiện mặt b chấm. Xét phương trình x2 + bx + 2 = 0. Tính xác suất sao cho:
a) Phương trình có nghiệm
b) Phương trình vô nghiệm.
c) Phương trình có nghiệm nguyên.
Giải: Không gian mẫu là Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Số kết quả có thế có thể có là 6 (hữu hạn); các kết quả đồng khả năng.
Ta có bảng:
|
b |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
|
∆ = b2 – 8 |
-7 |
-4 |
1 |
8 |
17 |
28 |
a) Phương trình x2 + bx + 2 = 0 có nghiệm khi và chỉ khi ∆ = b2 – 8 ≥ 0 (*). Vì vậy nếu A là biến cố: “Xuất hiện mặt b chấm sao cho phương trình x2 + bx + 2 = 0 có nghiệm”
thì A = {3, 4, 5, 6}, n(A) = 4 và
P(A) = 4/6= 2/3.
b) Biến cố B: “Xuất hiện mặt b chấm sao cho phương trình x2 + bx + 2 = 0 vô nghiệm” là biến cố A, do đó theo qui tắc cộng xác suất ta có
P(B) = 1 – P(A) = 1/3.
c) Nếu C là biến cố: “Xuất hiện mặt b chấm sao cho phương trình x2 + bx + 2 = 0 có nghiệm nguyên” thì C = {3}, vì vậy
P(C) = 1/6.
Bài 5. Từ cỗ bài tứ lơ khơ 52 con, rút ngẫu nhiên cùng một lúc bốn con. Tính xác suất sao cho:
a) Cả bốn con đều là át;
b) Được ít nhất một con át;
c) Được hai con át và hai con K.
Advertisements (Quảng cáo)
Lời giải: Phép thử T được xét là: “Từ cỗ bài tú lơ khơ 52 con bài, rút ngẫu nhiên 4 con bài”.
Mỗi kết quả có thể có là một tổ hợp chập 4 của 52 con bài. Do đó số các kết quả có thể có của phép thử T là n(Ω) = C452 =52! / (4!48!) = 270725.
Vì rút ngẫu nhiên nên các kết quả có thể có là đồng khả năng.
a) Gọi biến cố A: “Rút được bốn con át”. Ta có, số kết quả có thể có thuận lợi cho A là n(A) = 1. Suy ra P(A) = 1/270725 ≈ 0,0000037.
b) Gọi biến cố B: “Rút được ít nhất một con át”. Ta có ¯B= “Rút được 4 con bài đều không là át”. Mỗi kết quả có thể thuận lợi cho ¯B là một tổ hợp chập 4 của 48 con bài không phải là át. Suy ra số các kết quả có thể có thuận lợi cho ¯B là C448 = 48! / (4!44!)= 194580. Suy ra P(¯B) = 194580/270725≈ 0,7187.
Qua trên ta có P(B) = 1 – P(¯B) = 1- 0,7187 ≈ 0,2813.
c) Gọi C là biến cố: “Rút được hai con át và hai con K”.
Mỗi kết quả có thể có thuận lợi cho C là một tổ hợp gồm 2 con át và 2 con K. Vận dụng quy tắc nhân tính được số các kết quả có thể có thuận lợi cho C là
n(C) = C24 C24 = 6 . 6 = 36.
Suy ra P(C) =36/270725≈ 0,000133.
Bài 6. Hai bạn nam và hai bạn nữ được xếp ngồi ngẫu nhiên vào bốn ghế xếp thành hai dãy đối diện nhau. Tính xác suất sao cho:
a) Nam, nữ ngồi đối diện nhau;
b) Nữ ngồi đối diện nhau.
Lời giải: a) Có 6 cách sắp xếp 2 nam, 2 nữ (Không phân biệt hai nam với nhau, hai nữ với nhau). Có 4 cách sắp xếp nam nữ ngồi đối diện với nhau. Xác suất để nam, nữ ngồi đối diện nhau là:
P(A) = 4/6 = 2/3
b) Xã suất để nữ ngồi đối diện nhau (hai nam cũng đối diện nhau) là:
P(B) = 1 – P(A) = 1-2/3 = 1/3
Bài 7 trang 75 đại số và giải tích lớp 11. Có hai hộp chứa các quả cầu. Hộp thứ nhất chứa 6 quả trằng, 4 quả đen. Hộp thứ hai chứa 4 quả trằng, 6 quả đen. Từ mỗi hộp lấy ngẫu nhiên một quả. Kí hiệu:
A là biến cố: “Quả lấy từ hộp thứ nhất trằng”;
B là biến cố: “Quả lấy từ hộp thứ hai trắng”.
a) Xét xem A và B có độc lập không.
b) Tính xác suất sao cho hai quả cầu lấy ra cùng màu.
c) Tính xác suất sao cho hai quả cầu lấy ra khác màu.
Đáp án: Phép thử T được xét là: “Từ mỗi hộp lấy ngẫu nhiên một quả cầu”.
Mỗi một kết quả có thể có của phép thư T gồm hai thành phần là: 1 quả cầu của hộp thứ nhất và 1 quả cầu của hộp thứ 2.
Có 10 cách để lấy ra 1 quả cầu ở hộp thứ nhất và có 10 cách để lấy 1 quả cầu ở hộp thứ 2. Từ đó, vận dụng quy tắc nhân ta tìm được số các cách để lập được một kết quả có thể có của hai phép thử T là 10 . 10 = 100. Suy ra số các kết quả có thể có của phép thử T là n(Ω) = 100.
Vì lấy ngầu nhiên nên các kết quả có thể có của phép thử T là đồng khả năng.
Xét biến cố A: “Quả cầu lấy từ hộp thứ nhất có màu trắng”.
Mỗi một kết quả có thể có thuận lợi cho A gồm 2 thành phần là: 1 quả cầu trắng ở hợp thứ nhất và 1 quả cầu (nào đó) ở hộp thứ 2. Vận dụng quy tắc nhân ta tìm được số các kết quả có thể có thuận lợi cho A là: n(A) = 6 . 10 = 60.
Suy ra P(A) = 60/100 = 0,6.
Xét biến cố B: “Quả cầu lấy từ hộp thứ hai có màu trắng”.
Tương tự như trên ta tìm được số các kết quả có thể thuận lợi cho B là:
n(B) = 10 . 4 = 40.
Từ đó suy ra P(B) = 40/100 = 0,4.
a) Ta có A . B là biến cố: “Lấy được 1 cầu trắng ở hộp thứ nhất và 1 cầu trắng ở hộp thứ hai”. Vận dụng quy tắc nhân ta tìm được số các kết quả có thể có thuận lợi cho A . B là:
6 . 4 =24. Suy ra:
P(A . B) = 24/100= 0,24 = 0,6 . 0,4 = P(A) . P(B).
Như vậy, ta có P(A . B) = P(A) . P(B). Suy ra A và B là hai biến cố độc lập với nhau.
b) Gọi C là biến cố: “Lấy được hai quả cầu cùng màu”. Ta có
C = A . B + ¯A.¯B.
Trong đó ¯A = “Quả cầu lấy từ hộp thứ nhất có màu đen” và P( ¯A) = 0,4.
¯B: “Quả cầu lấy từ hộp thứ hai có màu đen” và P( ¯B) = 0,6.
Và ta có A . B và ¯A. ¯B là hai biến cố xung khắc với nhau.
A và B độc lập với nhau, nên ¯A và ¯B cũng độc lập với nhau.
Qua trên suy ra;
P(C) = P(A . B + ¯A. ¯B) = P(A . B) + P( ¯A . ¯B) = P(A) . P(B) + P( ¯A) . P( ¯B)
= 0,6 . 0,4 + 0,4 . 0,6 = 0,48.
c) Gọi D là biến cố: “Lấy được hai quả cầu khác màu”. Ta có
D = ¯C
⇒ P(D) = 1 – P(C) = 1 – 0,48 = 0,52.
