Hướng dẫn giải, đáp án Bài 2,3,4,5,6 trang 36,37 SGK giải tích lớp 11(Một số phương trình lượng giác thường gặp) – Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác.
Bài 2. Giải các phương trình sau:
a) 2cos2x – 3cosx + 1 = 0 ; b) 2sin2x + √2sin4x = 0.
Đáp án: a) Đặt t = cosx, t ∈ [-1 ; 1] ta được phương trình 2t2 – 3t + 1 = 0 ⇔ t ∈ {1 ; 1/2}.
Nghiệm của phương trình đã cho là các nghiệm của hai phương trình sau:
cosx = 1 ⇔ x = k2π và cosx = 1/2
⇔ x = ±π/3 + k2π.
Đáp số : x = k2π ; x = ±π/3 + k2π, k ∈ Z.
b) Ta có sin4x = 2sin2xcos2x (công thức nhân đôi), do đó phương trình đã cho tương đương với
2sin2x(1 + √2cos2x) = 0 ⇔ 
⇔
Bài 3. Giải các phương trình sau:
a) sin2 (x/2) – 2cos(x/2) + 2 = 0; b) 8cos2x + 2sinx – 7 = 0;
c) 2tan2x + 3tanx + 1 = 0; d) tanx – 2cotx + 1 = 0.
a) Đặt t = cos (x/2), t ∈ [-1 ; 1] thì phương trình trở thành
(1 – t2) – 2t + 2 = 0 ⇔ t2 + 2t -3 = 0 ⇔ 
Phương trình đã cho tương đương với
cos (x/2) = 1 ⇔ x/2 = k2π ⇔ x = 4kπ, k ∈ Z.
b) Đặt t = sinx, t ∈ [-1 ; 1] thì phương trình trở thành
8(1 – t2) + 2t – 7 = 0 ⇔ 8t2 – 2t – 1 = 0 ⇔ t ∈ {1/2;-1/4}.
Các nghiệm của phương trình đã cho là nghiệm của hai phương trình sau :
và 
Đáp số : x = π/6 + k2π; x = 5π/6 + k2π;
x = arcsin(-1/4) + k2π; x = π – arcsin(-1/4) + k2π, k ∈ Z.
c) Đặt t = tanx thì phương trình trở thành 2t2 + 3t + 1 = 0 ⇔ t ∈ {-1 ; -1/2}.
Vậy 
d) Đặt t = tanx thì phương trình trở thành
Advertisements (Quảng cáo)
t – 2/t + 1 = 0 ⇔ t2 + t – 2 = 0 ⇔ t ∈ {1 ; -2}.
Vậy 
Bài 4: Giải các phương trình sau:
a) 2sin2x + sinxcosx – 3cos2x = 0;
b) 3sin2x – 4sinxcosx + 5cos2x = 2;
c) 3sin2x – sin2x + 2cos2x = 1/2 ;
d) 2cos2x – 3√3sin2x – 4sin2x = -4.
Giải: a) Dễ thấy cosx = 0 không thỏa mãn phương trình đã cho nên chiaw phương trình cho cos2x ta được phương trình tương đương 2tan2x + tanx – 3 = 0.
Đặt t = tanx thì phương trình này trở thành
2t2 + t – 3 = 0 ⇔ t ∈ {1 ; -3/2}.
Vậy 
b) Thay 2 = 2(sin2x + cos2x), phương trình đã cho trở thành
3sin2x – 4sinxcosx + 5cos2x = 2sin2x + 2cos2x
⇔ sin2x – 4sinxcosx + 3cos2x = 0
⇔ tan2x – 4tanx + 3 = 0
⇔ 
⇔ x = Π/4 + kπ ; x = arctan3 + kπ, k ∈ Z.
c) Thay sin2x = 2sinxcosx ;
Advertisements (Quảng cáo)
1/2=1/2(sin2x + cos2x) vào phương trình đã cho và rút gọn ta được phương trình tương đương
1/2 sin2x + 2sinxcosx – 5/2cos2x = 0 ⇔ tan2x + 4tanx – 5 = 0 ⇔ 
⇔ x = π/4 + kπ ; x = arctan(-5) + kπ, k ∈ Z.
d) 2cos2x – 3√3sin2x – 4sin2x = -4
⇔ 2cos2x – 3√3sin2x + 4 – 4sin2x = 0
⇔ 6cos2x – 6√3sinxcosx = 0 ⇔ cosx(cosx – √3sinx) = 0
⇔ 
Bài 5. Giải các phương trình sau:
a) cosx – √3sinx = √2; b) 3sin3x – 4cos3x = 5;
c) 2sin2x + 2cos2x – √2 = 0; d) 5cos2x + 12sin2x -13 = 0.
Giải: a) cosx – √3sinx = √2 ⇔ cosx – tan π/3sinx = √2
⇔ cos π/3cosx – sinπ/3sinx = √2cosπ/3
⇔ cos(x +π/3) = √2/2
⇔ 
b) 3sin3x – 4cos3x = 5 ⇔ 3/5sin3x – 4/5cos3x = 1.
Đặt α = arccos thì phương trình trở thành
cosαsin3x – sinαcos3x = 1 ⇔ sin(3x – α) = 1 ⇔ 3x – α = π/2 + k2π
⇔ x = π/6 +α/3 +k(2π/3) , k ∈ Z (trong đó α = arccos3/5).
c) Ta có sinx + cosx = √2cos(x – π/4) nên phương trình tương đương với 2√2cos(x – π/4) – √2 = 0 ⇔ cos(x – π/4) = 1/2
⇔ 
d) 5cos2x + 12sin2x -13 = 0 ⇔ 
Đặt α = arccos5/13 thì phương trình trở thành
cosαcos2x + sinαsin2x = 1 ⇔ cos(2x – α) = 1
⇔ x = α/2 + kπ, k ∈ Z (trong đó α = arccos 5/13).
Bài 6. a. tan (2x + 1)tan (3x – 1) = 1;
b. tan x + tan (x + π/4) = 1
Ôn lại Lý thuyết
Phương pháp giải phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác
Chỉ cần thực hiên hai phép biến đổi tương đương: chuyển số hạng không chứa x sang vế phải và đổi dấu; chia hai vế phương trình cho một số khác 0 là ta có thể đưa phương trình lượng giác cơ bản đã biết cách giải.
Phương pháp giải phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác
Đặt hàm số lượng giác chứa ẩn phụ ta đưa được phương trình về dạng một phương trình bậc hai. Giải phương trình bậc hai này. Nếu phương trình bậc hai có nghiệm thì thế giá trị của nghiệm tìm được trở lại phép đặt ta sẽ được một phương trình lượng giác cơ bản đã biết cách giải.
Phương pháp giải phương trình asinx + bcosx = c
Chỉ cần xét trường hợp cả hai hệ số a, b đều khác 0 (trường hợp một trong hai hệ số đó bằng 0 thì phương trình cần giải là hpuwong trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác (sinx hoặc cosx) đã biết cách giải.
Cách 1: Chia hai vế phương trình cho 
và gọi α là góc lượng giác tạo bởi chiều dương của trục hoành với vecto OM = (a ; b) thì phương trình trở thành một phương trình đã biết cách giải:
Cách 2: Viết lại phương trình dưới dạng
, phương trình trở thành :
Phương trình này đã biết cách giải.
Chú ý : Để phương trình 
có nghiệm, điều kiện cần và đủ là
Đó cũng là điều kiện cần và đủ để phương trình asinx + bcosx = c có nghiệm.
Phương pháp giải các phương trình đưa được về dạng phương trình bậc nhất, bậc hai đối với một hàm số lượng giác
Hệ thống các công thức lượng giác rất phong phú nên các phương trình lượng giác cũng rất đa dạng. Sử dụng thành thạo các phép biến đổi lượng giác các em có thể đưa các phương trình cần giải về dạng phương trình bậc nhất, bậc hai đối với một hàm số lượng giác. Chẳng hạn, phương trình đẳng cấp bậc hai đối với cosx và sinx :
a.sin2x + b.sinx.cosx + cos2x = d
có thể đưa về dạng phương trình bậc hai đối với tanx bằng cách chia phương trình cho cos2x. Chính vì sự đa dạng và phong phú ấy nên chúng tôi cũng chỉ có thể minh họa phương pháp giải thông qua một số ví dụ điển hình và các em có thể nắm vững phương pháp giải thông qua nhiều bài tập.
