Giải các bài tập trong sgk: Bài 1,2,3,4 trang 12 SGK hình học lớp 12: Khái niệm về khối đa diện – Chương 1.
A. Tóm tắt lý thuyết về khối đa diện
1. Hình đa diện (gọi tắt là đa diện) (H) là hình được tạo bởi một số hữu hạn các đa giác thỏa mãn hai điều kiện:
a) Hai đa giác phân biệt chỉ có thể hoặc không giao nhau, hoặc chỉ có một đỉnh chung, hoặc chỉ có một cạnh chung.
b) Mỗi cạnh của đa giác nào cũng là cạnh chung của đúng hai đa giác.
Mỗi đa giác như thế được gọi là một mặt của hình đa diện (H). Các đỉnh, cạnh của các đa giác ấy theo thứ tự gọi là các đỉnh, cạnh của hình đa diện (H).
2. Phần không gian được giới hạn bới một hình đa diện (H) được gọi là khối đa diện (H).
3. Mỗi đa diện (H) chia các điểm còn lại của không gian thành hai miền không giao nhau: miền trong và miền ngoài của (H). Trong đó chỉ có duy nhất miền ngoài là chứa hoàn toàn một đường thẳng nào đấy.
Các điểm thuộc miền trong là các điểm trong, các điểm thuộc miền ngoài là các điểm ngoài của (H).
Khối đa diện (H) là hợp của hình đa diện (H) và miền trong của nó.
4. Phép dời hình và sự bằng nhau giữa các khối đa diện.
a) Trong không gian quy tắc đặt tương ứng mỗi điểm M với điểm M’ xác định duy nhất được gọi là một phép biến hình trong không gian.
b) Phép biến hình trong không gian được gọi là phép dời hình nếu nó bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm tùy ý.
c) Thực hiện liên tiếp các phép dời hình sẽ được một phép dời hình.
d) Phép dời hình biến một đa diện thành một đa diện, biến các đỉnh, cạnh, mặt của đa diện này thành đỉnh, cạnh, mặt tương ứng của đa diện kia.
e) Một số ví dụ về phép dời hình trong không gian :
– Phép dời hình tịnh tiến theo vector .gif)
, là phép biến hình biến điểm M thành M’ sao cho
Advertisements (Quảng cáo)
– Phép đối xứng qua mặt phẳng (P), là phép biến hình biến mọi điểm thuộc (P) thành chính nó, biến điểm M không thuộc (P) thành điểm M’ sao cho (P) là mặt phẳng chung trực của MM’.
Nếu phép đối xứng qua mặt phẳng (P) biến hình (H) thành chính nó thì (P) được gọi là mặt phẳng đối xứng của (H).
– Phép đối xứng tâm O, là phép biến hình biến điểm O thành chính nó, biến điếm M khác O thành điểm M’ sao cho O là trung điểm của MM’.
Nếu phép đối xứng tâm O biến hình (H) thành chính nó thì O được gọi là tâm đối xứng của (H).
– Phép đối xứng qua đường thẳng d, là phép biến hình mọi điểm thuộc d thành chính nó, biến điểm M không thuộc d thành điểm M’ sao cho d là trung trực của MM’. Phép đối xứng qua đường thẳng d còn được gọi là phép đối xứng qua trục d.
Nếu phép đối xứng qua đường thẳng d biến hình (H) thành chính nó thì d được gọi là trục đối xứng của (H).
g) Hai hình được gọi là bằng nhau nếu có một phép dời hình biến hình này thành hình kia.
h) Hai tứ diện có các cạnh tương ứng bằng nhau thì bằng nhau.
5. Nếu khối đa diện (H) là hợp của hai khối đa diện (H1), (H2), sao cho (H1) và (H2) không có điểm trong chung thì ta nói có thể chia được khối đa diện (H) thành hai khối đa diện (H1) và (H2), hay có thể lắp ghép được hai khối đa diện (H1) và (H2) với nhau để được khối đa diện (H).
Advertisements (Quảng cáo)
6. Một khối đa diện bất kì luôn có thể phân chia được thành các khối tứ diện.
7. Kiến thức bổ sung
Phép vị tự trong không gian và sự đồng dạng giữa các khối đa diện.
a) Phép vị tự tâm O, tỉ số k (k≠0)
là phép biến hình biến điểm M thành điểm M’ sao cho 
b) Hình (H) được gọi là đồng dạng với hình (H’) nếu có một phép vị tự biến (H) thành (H1) và (H1) bằng (H’).
B. Giải bài tập trong SGK hình học lớp 12 trang 12
Bài 1.Chứng minh rằng một đa diện có các mặt là những tam giác thì tổng sô các mặt của nó phải là một số chẵn. Cho ví dụ.
Gọi số mặt của đa diện đã cho là M. Vì mỗi mặt có 3 cạnh nên số cạnh của nó là 3M. Vì mỗi cạnh thì chung cho hai mặt nên số cạnh C của đa diện là C = 3M/2 ; C là một số nguyên nên 3M chia hểt cho 2 mà 3 không chia hết cho 2 nên M chia hết cho 2 ⇒ M là số chẵn.
Ví dụ: Đa diện kim tự tháp.
Bài 2. Chứng minh rằng một đa diện mà mỗi đỉnh của nó đều là đỉnh chung của số lẻ mặt thì tổng số các đỉnh của nó là một số chẵn. Cho ví dụ.
Giả sử đa diện (H) có các đỉnh là A1,…, Ad, gọi m1,…,md lần lượt là số các mặt của (H) nhận chúng là đỉnh chung. Như vậy mỗi đỉnh Ak có mk cạnh đi qua. Do mỗi cạnh của (H) là cạnh chung của đúng hai mặt nên tổng số các cạnh của H bằng .gif)
Vì c là số nguyên, m1,…,md là những số lẻ nên d phải là số chẵn.
Ví dụ: Số đỉnh của hình chóp ngũ giác bằng sáu.
Bài 3. Chia một khối lập phương thành năm khối tứ diện.
Chia khối lập phương ABCD.A’B’C’D’ thành năm khối tứ diện như sau:AB’CD’, A’AB’D’, BACB’, C’B’CD’, DACD’.
Bài 4.Chia một khối lập phương thành sáu khối tứ diện bằng nhau.
Chia lăng trụ ABD.A’B’D’ thành ba tứ diện DABD’, A’ABD’, A’B’BD’. Phép đối xứng qua (ABD’) biến DABD’ thành A’ABD’, Phép đối xứng qua (BA’D’) biến A’ABD’ thành A’B’BD’ nên ba tứ diện DABA’, A’ABD’, A’B’BD’ bằng nhau.
Làm tương tự đối với lăng trụ BCD.B’C’D’ ta sẽ chia được hình lập phương thành sáu tứ diện bằng nhau.
