Bài tập ôn tập chương 1 hình học 12 trang 26,27,28: Khối Đa diện

Hướng Giải bài tập ôn tập chương 1 hình học 12: Bài 1,2,3,4,5,6,7,8,9 trang 26; Bài 11,12 trang 27: Khối Đa diện.

I. Giải bài tập ôn tập chương 1 hình học 12

Bài 1: Các đỉnh, cạnh, mặt của một da diện phải thoả mãn những tính chất nào ?

Bài 2: Tìm một hình tạo bởi các đa giác nhưng không phải là một đa diện.

Bài 3: Thế nào là một khối đa diên lồi ? Tim ví dụ trong thực tế mô tả một khối đa diộn lồi, một khối đa diện không lồi.

Bài 1,2,3 Các em xem SGK và trả lời các câu hỏi trên nhằm củng cố kiến thức của mình

Bài 4. Cho hình lăng trụ và hình chóp có diện tích đáy và chiều cao bằng nhau. Tính tỉ số thể tích của chúng.

Bài 5. Cho hình chóp tam giác ABC có ba cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau và OA =a, OB = b, OC = c. Hãy tính đường cao OH của hình chóp.

Bài 6. Cho hình chóp tam giác đều SABC có cạnh AB bằng Các cạnh bên SA, SB, SC tạo với đáy môt góc 60°. Gọi D là giao điểm của SA với mặt phảng qua BC và vuông góc với SA.

a) Tính tỉ số thể tích cùa hai khối chóp S.DBC và S.ABC

b) Tính thể tích cùa khối chóp S.DBC.

Bài 7. Cho hình chóp tam giác S.ABC có AB = 5a, BC = 6a_,CA = 7a. Các măt bên SAB, SBC, SCA tạo với đáy mội góc 60°. Tính thể tích của khối chóp đó.

Bài 8. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, SA vuông góc với đáy và AB = a, AD = b, SA = c. Lấy các điểm B’, D’ theo thứ tự thuộc SB, SD sao cho AB’ vuông góc với SB, AD’ vuông góc với SD. Mặt phẳng (AB’D’) cắt SC tại C’. Tính thể tích khối chóp S.AB’C’D’.

Advertisements (Quảng cáo)

Bài 9 ôn tập chương 1 hình 12. Cho hình chóp tứ giác đểu ABCD, đáy là hình vuông cạnh a, cạnh bên tạo với đáy một góc 60°. Gọi M là trung điểm SC. Mặt phẳng đi qua AM và song song với BD, cắt SB tại E và cắt SD tại F. Tính thể tích khối chóp S.AEMF.

Hình chóp S.ABCD là hình chóp đều nên chân H của đường cao SH chính là tâm của đáy. Mặt phẳng đi qua AM và song song với BD cắt mặt phẳng (SDB) theo một giao song song với BD, hay EF // BD. Ta dựng giao tuyến EF như sau : Gọi I là giao điểm của AM và SH

Qua I ta dựng một đường thẳng song song với BD, đường này cắt SB ở E và cắt SD ở F.

Ta có góc SAH= 60°. Tam giác cân SAC có SA = SC và SAC = 60° nên nó là tam giác đều: I là giao điểm của các trung tuyến AM và SH nên:

Bài 10: (Trang 27 ôn tập chương 1 hình 12) Cho hình lăng trụ đứng tam giác A’B’C’ có tất cả các cạnh đều bằng a.

a) Tính thể tích khối tứ diện A’BB’C.

b) Mặt phẳng đi qua A’B’ và trọng tâm tam giác ABC cắt AC và BC lần lượt tại E và F. Tính thể tích hình chóp A’B’FE.

Hướng dẫn:

Ta tính thể tích hình chóp A’.BCB’.

Gọi M là trung điểm của B’C’, ta có:

ATM ⊥ B’C’ (1)

Advertisements (Quảng cáo)

Lăng trụ ABC.A’B’C’ là lăng trụ đứng nên: BB’ ⊥ (A’B’C’)

⇒BB’⊥ A’M (2)

Từ (1) và (2) suy ra A’M ⊥ (BB’C) hay A’M là đường cao của hình chóp A’.BCB’

Bài 11. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Gọi E và F theo thứ tự là trung điểm của các cạnh BB’ và DD’. Mặt phẳng (CEF) chia khối hộp trên làm hai khối đa diện. Tính tỉ số thể tích của hai khối đa diện đó.

Trước hết, ta xác định thiết diện của hình hộp ABCD.A’B’C’D’ khi cắt bởi mp (CEF). Mặt phẳng (CEF) chứa đường thẳng EF mà E là trung điểm của BB’, F là trung điểm của cơ nên EF chứa giao điểm O của các đường chéo hình hộp, do đó mặt phẳng (CEF) cùng chứa giao điểm O của các đường chéo và nó cũng chứa đường chéo A’C của hình hộp. Ta dễ dàng nhận xét rằng thiết diện chính là hình bình hành CEA’F. Qua EF ta dựng một mặt phẳng song song với đáy hình hộp, mặt phẳng này cắt AA’ ở p và cắt CC’ ở Q.

Ta có thể tích của hình hộp ABCD.PEQF là:

V_{ABCD.PEQF =1/2} V_{ABCD.A’B’C’D’ (1)}

Ta cũng chứng minh được một cách dễ dàng:

V_{CFQE = V_A’FPE}(2)

(Hai hình chóp CFQE và A’FPE có chiều cao bằng nhau và diện

tích đáy bằng nhau).

Xét khối đa diện ABCDE’F do mặt phẳng (CEF) chia ra trên hình hộp p ABCD_.A’B’C’D ta có:

V_{ABCD.FA’EQ = V_ABCD.FPE}+V_{A’FPE (3)}

Từ (1), (2), (3) suy ra:

V_{ABCD.FA’EQ =}1/2 V_{ABCD.A’B’C’D’}

Vậy mặt phẳng (CEF) chia hình hộp thành hai khối đa diện có thể tích bằng nhau, tỉ số của chúng là 1.

Chú ý: Có thể lí luận như sau: Giao điểm O của các đường chéo của hình hộp là tâm đối xứng của hình hộp, do đó mặt phẳng (CEF) chứa điểm o nên chia hình hộp thành hai hình đối xứng với nhau qua điểm o. Vậy hai hình này là hai hình bằng nhau và có thể tích bằng nhau.

Bài 12. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Gọi M là trung điểm A’B’, N là trung điểm BC.

a) Tính thể tích khối tứ diện ADMN.

b) Mặt phẳng (DMN) chia khối lập phương đã cho thành hai khối đa diện. Gọi (H) là khối đa diện chứa đỉnh A, (H’) là khối đa diện

còn lai. Tính tỉ số V_H/V_H’

a) Ta tính thể tích hình chóp M.ADN. Hình chóp này có chiều cao bằng a và diên tích đáy AND bằng a²/2

V_ADMN=1/3.a.a²/2 = a³/6

b) Trước hết, ta dựng thiết diện của hình lập phương khi cắt bởi mp (DMN).

Do (ABCD) // (A’B’C’D’) nên (DMN) cắt (A’B’C’D’) theo một giao tuyến song song với DN. Ta dựng thiết diện như sau:

Từ M kẻ đường thẳng song song với DN, đường này cắt cạnh A’D’ tại điểm p và cắt đường thẳng C’B’ tại điểm Q. Trong mặt phẳng (BCCB’) thì QN cắt cạnh BB’ tại điểm R; đa giác DNRMP chính là thiết diện của hình lập phương khi cắt bởi mp (DMN).