Kiểm tra 15 phút môn Toán lớp 9 Chương 4 Đại số: Viết phương trình đường thẳng qua điểm (0;-2) và và tiếp xúc với parabol y = 2.x^2

Bài 1: Tìm m để phương trình \({x^2} – \left( {{m^2} + m} \right)x – 2 = 0\) có nghiệm.

Bài 2: Viết phương trình đường thẳng qua điểm \((0;− 2)\) và tiếp xúc với parabol \(y = 2{x^2}\) (P ).

Bài 3: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(y = {x \over {{x^2} + 1}}.\)

Bài 1: Ta có  các hệ số: \(a = 1; c = − 2.\) Vì vậy \(a.c = − 2 < 0\) \( \Rightarrow {b^2} – 4ac > 0\), hay \({\left( {{m^2} + m} \right)^2} + 8 > 0,\) với mọi m.

Vậy phương trình luôn có nghiệm với mọi m.

Bài 2: Phương trình đường thẳng qua điểm \((0; − 2)\) có tung độ gốc bằng \(– 2\) là: \(y = kx – 2\) (d)

Xét phương trình hoành độ giao điểm ( nếu có) của (P ) và (d):

\(2{x^2} = kx – 2 \)\(\;\Leftrightarrow 2{x^2} – kx + 2 = 0\,\,\,\,\,\left( * \right)\)

(P ) và (d) tiếp xúc với nhau khi và chỉ khi phương trình (*) có nghiệm kép

\( \Leftrightarrow \Delta  = 0 \Leftrightarrow {k^2} – 16 = 0 \Leftrightarrow k =  \pm 4.\)

Phương trình đường thẳng đi qua điểm \((0; − 2)\) và tiếp xúc với (P ) là :

\(y =  \pm 4x – 2.\)

Bài 3: Mẫu số : \({x^2} + 1 \ne 0\), với mọi x.

Vậy : \(y = {x \over {{x^2} + 1}} \Leftrightarrow y{x^2} + y = x \)

\(\Leftrightarrow y{x^2} – x + y = 0\,\,\,\,\left( * \right)\)

Ta xem phương trình (*) là phương trình bậc hai của x, còn y là tham số.

+) Nếu \(y = 0\), phương trình (*) có nghiệm \(x = 0.\)

+) Nếu \(y \ne 0\), phương trình (*) có nghiệm \(\Rightarrow ∆ ≥ 0\)

\(1 – 4{y^2} \ge 0 \Leftrightarrow {y^2} \le {1 \over 4} \)

\(\Leftrightarrow \left| y \right| \le {1 \over 2} \Leftrightarrow  – {1 \over 2} \le y \le {1 \over 2}\)

Vậy giá trị lớn nhất của y là \({1 \over 2}\), dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi :

\({1 \over 2}{x^2} – x + {1 \over 2} = 0 \Leftrightarrow x = 1.\)