Đề kiểm tra 15 phút môn Toán lớp 9 Chương 4 Đại số: Tìm m để parabol y = (-1/4)x^2 (P) và đường thẳng y = mx + 1 (d) tiếp xúc với nhau

Bài 1: Tìm m để phương trình \(\left( {m – 1} \right){x^2} + \left( {m + 4} \right)x + m + 7 = 0\) có nghiệm duy nhất.

Bài 2: Tìm m để parabol \(y =  – {1 \over 4}{x^2}\) (P) và đường thẳng \(y = mx + 1\) (d) tiếp xúc với nhau.

Bài 3: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(y = \sqrt {x + 1}  – x.\)

Bài 1: +) Nếu \(m – 1 = 0  \Leftrightarrow  m = 1\)

Phương trình có dạng : \(5x + 8 = 0 \Leftrightarrow x =  – {8 \over 5}\) ( nghiệm duy nhất)

+) Nếu \(m – 1 \ne 0  \Leftrightarrow  m \ne 1\)

Phương trình có nghiệm kép \( \Leftrightarrow \Delta  = 0 \Leftrightarrow 3{m^2} + 16m – 44 = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \matrix{  m = 2 \hfill \cr  m =  – {{22} \over 3} \hfill \cr}  \right.\)

Vậy \(m = 1;   m = 2;    m =  – {{22} \over 3}.\)

Bài 2: Phương trình hoành độ giao điểm ( nếu có) của (P) và (d) :

\( – {1 \over 4}{x^2} = mx + 1\)\(\; \Leftrightarrow {x^2} + 4m + 4 = 0\,\,\,\,\,\,\,\left( * \right)\)

(P) và (d) tiếp xúc nhau khi và chỉ khi phương trình (*) có nghiệm kép

\( \Leftrightarrow \Delta  = 0 \Leftrightarrow 16{m^2} – 16 = 0 \Leftrightarrow m \pm 1.\)

Bài 3: Đặt \(u = \sqrt {x + 1} ;x \ge  – 1 \Rightarrow u \ge 0.\)

Ta có : \({u^2} = x + 1 \Rightarrow x = {u^2} – 1.\)

Vậy : \(y = u – \left( {{u^2} – 1} \right) \Leftrightarrow y =  – {u^2} + u + 1 \)\(\;\Leftrightarrow {u^2} – u – 1 + y = 0\)

Phương trình ẩn u có nghiệm \( \Leftrightarrow \Delta  \ge 0 \Leftrightarrow 5 – 4y \ge 0 \Leftrightarrow y \le {5 \over 4}.\)

Vậy giá trị lớn nhất của y bằng \({5 \over 4}.\)

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow u = {1 \over 2}\) hay \(x =  – {3 \over 4}.\)