Giải chi tiết đề thi học kì 1 môn Toán 12 Sở GD & ĐT Đồng Nai 2015

Đề thi học kì 1 môn Toán Cơ Bản lớp 12 có đáp án của Sở GD & ĐT Đồng Nai năm học 2015 – 2016. Thời gian làm bài 90 phút. 

1. (1,5 điểm) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số: 

*Giải*

Tập xác định: D = /R

⇔ y’ = x³ – 4x = x(x² – 4)

⇔ y’ = 0 ⇔ x(x² – 4 ) = 0

Bảng biến thiên: 

Hàm số đồng biến trên các khoảng (-2;0) và (2; +∞) , nghịch biến trên các khoảng (-∞; -2)  và (0;2)

Đạt cực đại tại x=0 và y_cđ = 1, Đạt cực tiểu tại các điểm x= +-2 và y_ct = -3

Điểm đặc biệt: 

Đồ thị:

Đồ thị hàm số

2: ( 1 điểm) Tìm giá trị lớn nhất của hàm số: y= x³ + x²  trên đoạn  [-2; -1]

**Giải**

Hàm số xác định và liên tục trên đoạn [-2; -1] ,

ta có y’ = 3x² +2x     ;   y’ = 0 ⇔ 3x² +2x = 0

Ta có: y(-2) = -8 + 2 = -4; y (-1) = -1 + 1 = 0

3 ( 1,5 điểm) 1) Tính   Tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số: y = 6^x

2) Tính đạo hàm của hàm số: y = log₂ (2^x + x²⁾

** Giải **

Tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số:y = 6^x

là trục hoành: y = 0

2) y = log₂ (2^x + x²) 

4 ( 2 điểm)  1) Giải phương trình 4^x+3 – 2^x  = 0

2) Tìm các số thực thỏa: log₂ (3 – x) < 3

** Giải **

1) 4^x+3 -2^x = 0

⇔ 4³ . 2^2x – 2^x = 0

⇔ 2^x (64.2^x – 1) = 0

⇔ 64.2^x – 1 = 0    ⇔ 2x = 1/64 = 2^-6 ⇔ x = -6

Vậy nghiệm của phương trình là: x = -6

2) log₂ (3 – x) < 3 (1) ; điều kiện: 3 –x > 0 ⇔ x < 3 (*)

Bất phương trình (1) tương đương với:

log₂ (3 – x) < log₂ 8 ⇔ 3 – x < 8 ⇔ x > -5

So với điều kiện (*), ta có: 

Vậy x ∈ (-5; 3) là các số thực x cần tìm.

5 ( 1,5 điểm) Cho hình vuông ABCD có AB = 2a , với a là số thực dương. Gọi M,N tương ứng là trung điểm của hai cạnh AB và C
D.Gọi (T) là hình trụ tròn xoay sinh ra bởi hình vuông ABCD quay quanh đường thẳng MN.

Tính theo a diện tích xung quanh của hình trụ (T).

Tính theo a thể tích khối trụ tròn xoay giới hạn bởi hình trụ (T) 

** Giải **

hình trụ (T)

Ta có: Đường sinh của hình trụ: l = BC = 2a

Đường cao của hình trụ: h = MN = 2a  

Bán kính đáy:  r = MB = AB/2 = a  

Diện tích xung quanh của hình trụ (T): Sxq = 2 πrl = 4 πa² (đvdt)

Thể tích của khối trụ (T): V = Πr²h = 2 Πa³   (đvtt)

6 ( 2 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD), góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (ABCD) bằng 60º  , biết AB = a  , AD = 2a , với  là số thực dương.

Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD

Tính theo a khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SCD)

** Giải **

Hình chóp S.ABCD

Thể tích khối chóp S.ABCD

V_{S.ABCD =} 1/3 SA.S_ABCD

Diện tích hình chữ nhật ABCD:

S_{ABCD =} AB.AD = 2a²

AB là hình chiếu vuông góc của SB trên mặt phẳng (ABCD)

⇒  góc giữa SB và (ABCD) là góc SBA = 60º

Tam giác SAB vuông tại A, ta có: 

2) Khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SCD)

AB // CD ⇒ AB // (SCD)

d (B, (SCD)) = d (AB, (SCD)) = d (A, (SCD))

Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên SD

⇒ AH ⊥  SD

SA ⊥ (ABCD)  ⇒ SA ⊥ CD  lại có AD ⊥ CD

⇒ CD ⊥ (SAD) ⇒ CD ⊥ AH

Ta có AH ⊥ SD và AH ⊥ CD ⇒ AH ⊥ (SCD)

Do đó: AH = d(A,(SCD)) = d (B,(SCD))

Tam giác SAD vuông tại A, ta có: