Kiểm tra 15 phút môn Toán lớp 9 Chương 4 Đại số: Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt

Bài 1: Cho phương trình \({x^2} – 2mx + {m^2} – m + 1 = 0\)

a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt.

b) Với điều kiện m tìm được ở câu a), tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(A = {x_1}{x_2} – {x_1} – {x_2}.\)

Bài 2: Cho phương trình \({x^2} – 2mx – 1 = 0.\) Tìm m để \(x_1^2 + x_2^2 – {x_1}{x_2} = 7,\) ở đó \(x_1;x_2\) là hai nghiệm của phương trình.

Bài 1: a) Phương trình có hai nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow \Delta ‘ > 0 \Leftrightarrow m – 1 > 0 \Leftrightarrow m > 1.\)

b) Với \(m > 1\), phương trình có hai nghiệm \(x_1;x_2\).

Theo định lí Vi-ét, ta có : \(\left\{ \matrix{  {x_1} + {x_2} = 2m \hfill \cr  {x_1}{x_2} = {m^2} – m + 1 \hfill \cr}  \right.\)

Khi đó \(A = {x_1}{x_2} – {x_1} – {x_2} \)\(\;= {x_1}{x_2} – \left( {{x_1} + {x_2}} \right) \)\(\;= {m^2} – 3m + 1 \)\(\;= {\left( {m – {3 \over 2}} \right)^2} – {5 \over 4} \ge  – {5 \over 4}\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của A bằng \( – {5 \over 4}.\)

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow m – {3 \over 2} = 0 \Leftrightarrow m = {3 \over 2}.\)

Bài 2: Vì \(a = 1; c = − 1   \Rightarrow  ac < 0\), nên phương trình luôn luôn có hai nghiệm. Theo định lí Vi-ét, ta có : \({x_1} + {x_2} = 2m;\,\,\,\,{x_1}{x_2} =  – 1\)

Vậy : \(x_1^2 + x_2^2 – {x_1}{x_2} = 7 \)

\(\Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} – 3{x_1}{x_2} = 7\)

\( \Leftrightarrow 4{m^2} + 3 = 7\)

\(\Leftrightarrow 4{m^2} = 4 \Leftrightarrow m =  \pm 1.\)