Đề kiểm tra 15 phút môn Toán lớp 9 Chương 1 Đại số: Chứng minh rằng: |a + b| ≤ √2(a^2 + b^2), với mọi a và b

Bài 1. Rút gọn :  \(A = {{a + b} \over {{{\left( {\sqrt a  – \sqrt b } \right)}^2}}} – {2 \over {\sqrt {ab} }}:{\left( {{1 \over {\sqrt a }} – {1 \over {\sqrt b }}} \right)^2}.\)

Bài 2. Tìm x, biết : \(\sqrt {{x^2} – 2x + 1}  = \sqrt {6 + 4\sqrt 2 }  \)\(\,- \sqrt {6 – 4\sqrt 2 } \,\,\,\,\,\left( * \right)\)

Bài 3. Chứng minh rằng : \(\left| {a + b} \right| \le \sqrt {2\left( {{a^2} + {b^2}} \right)} ,\) với mọi a và b.

Bài 1. Điều kiện: \(a,b > 0\) và \(a ≠ b\).

Ta có:

\(\eqalign{  & A = {{a + b} \over {{{\left( {\sqrt a  – \sqrt b } \right)}^2}}} – {2 \over {\sqrt {ab} }}:{{{{\left( {\sqrt b  – \sqrt a } \right)}^2}} \over {ab}}  \cr  &  = {{a + b} \over {{{\left( {\sqrt a  – \sqrt b } \right)}^2}}} – {2 \over {\sqrt {ab} }}.{{ab} \over {{{\left( {\sqrt b  – \sqrt a } \right)}^2}}}  \cr  &  = {{a + b – 2\sqrt {ab} } \over {{{\left( {\sqrt a  – \sqrt b } \right)}^2}}} = {{{{\left( {\sqrt a  – \sqrt b } \right)}^2}} \over {{{\left( {\sqrt a  – \sqrt b } \right)}^2}}} = 1. \cr} \)

Bài 2. Ta có:

\(\eqalign{  & \left( * \right) \Leftrightarrow \left| {x – 1} \right| = \left| {2 + \sqrt 2 } \right| – \left| {2 – \sqrt 2 } \right|  \cr  &  \Leftrightarrow \left| {x – 1} \right| = 2 + \sqrt 2  – \left( {2 – \sqrt 2 } \right)  \cr  &  \Leftrightarrow \left| {x – 1} \right| = 2\sqrt 2   \cr  &  \Leftrightarrow \left[ {\matrix{   {x – 1 = 2\sqrt 2 }  \cr   {x – 1 =  – 2\sqrt 2 }  \cr  } } \right. \cr&\Leftrightarrow \left[ {\matrix{   {x = 1 + 2\sqrt 2 }  \cr   {x = 1 – 2\sqrt 2 }  \cr  } } \right. \cr} \)

Bài 3. Ta có:

\(\eqalign{  & \left| {a + b} \right| \le \sqrt {2\left( {{a^2} + {b^2}} \right)}   \cr  &  \Leftrightarrow {\left( {a + b} \right)^2} \le 2\left( {{a^2} + {b^2}} \right)  \cr  &  \Leftrightarrow {a^2} + 2ab + {b^2} \le 2{a^2} + 2{b^2}  \cr  &  \Leftrightarrow {a^2} – 2ab + {b^2} \ge 0  \cr  &  \Leftrightarrow {\left( {a – b} \right)^2} \ge 0 \cr} \)

Luôn đúng với mọi a và b thuộc \(\mathbb R\).