Đề kiểm tra 15 phút lớp 9 môn Toán Chương 2 Hình học: Chứng tỏ chu vi ∆COD không đổi khi M chạy trên cung nhỏ AB

Cho góc \(\widehat {xOy} = 60^\circ .\) Đường tròn tâm K bán kính R tiếp xúc với Ox tại A và Oy tại B. Từ điểm M trên cung nhỏ AB, vẽ tiếp tuyến với đường tròn, tiếp tuyến này cắt Ox, Oy lần lượt tại C và D.

a. Tính chu vi ∆COD theo R. Chứng tỏ chu vi đó không đổi khi M chạy trên cung nhỏ AB.

b. Chứng minh số đo \(\widehat {CKD}\) không đổi khi M chạy trên cung nhỏ AB.

a. Ta có: OA, OB là hai tiếp tuyến của (O) nên \(OA = OB\) và OK là phân giác của\(\widehat {AOB} \Rightarrow \widehat {AOK} = \widehat {BOK} = {{\widehat {AOB}} \over 2}\)\(\; = {{60^\circ } \over 2} = 30^\circ \)

Do đó ∆OAK là nửa tam giác đều có cạnh \(AK = R ⇒ OK = 2R\) nên

\(OA = OB = \sqrt {O{K^2} – A{K^2}}  \)\(\;= \sqrt {{{\left( {2R} \right)}^2} – {R^2}}  = R\sqrt 3 \)

Lại có CD tiếp xúc với (K) tại M nên \(CM = CA\) và \(DM = DB.\)

Gọi p là chu vi của ∆OCD, ta có:

\(p = OC + CM + MD + OD\)

\(\;\;\;= OC + CA + DB + OD\)

\(\;\;\;=2OA = 2R\sqrt 3 \) (không đổi)

b. Ta có: CK là phân giác của \(\widehat {AKM},\)

DK là phân giác của \(\widehat {BKM}\)

mà \(\widehat {AKM} + \widehat {BKM} = \widehat {AKB} = 120^\circ \) (vì \(\widehat O = 60^\circ \,và\,\widehat A = \widehat B = 90^\circ \) )

\( \Rightarrow \widehat {CKD} = {1 \over 2}\widehat {AKB} = {1 \over 2}.120^\circ  = 60^\circ \) (không đổi)