Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau. Gọi M, N, R, S lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD và DA.
a. Chứng minh rằng bốn điểm M, N, R, S thuộc cùng một đường tròn.
b. Cho \(AC = 24cm, BD = 18cm.\) Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tứ giác MNRS.
a. Ta có: M, N lần lượt là trung điểm của AB và BC (gt) nên MN là đường trung bình của ∆ABC.
Do đó : MN // AC (1)
Tương tự SR là đường trung bình của ∆ADC nên SR // AC (2)
Advertisements (Quảng cáo)
Từ (1) và (2) ⇒ MN // RS // AC (3)
Chứng minh tương tự ta có: MS // NR // BD (4)
Từ (3) và (4) ⇒ MNRS là hình bình hành (các cạnh đối song song)
Mặt khác AC ⊥ BD (gt) ⇒ MN ⊥ MS nên hình bình hành MNRS là hình chữ nhật.
Gọi O là giao điểm của hai đường chéo MR và NS ta có:
OM = ON = OR = OS
Advertisements (Quảng cáo)
Chứng tỏ bốn điểm M, N, R, S thuộc cùng một đường tròn tâm O.
b. Ta có: MN là đường trung bình của ∆ABC (cmt), ta có:
\(MN = {1 \over 2}AC = {1 \over 2}.24 = 12\,\left( {cm} \right)\)
Tương tự: \(MS = {1 \over 2}BD = 9\,\left( {cm} \right)\)
Lại có ∆MNS vuông tại M (cmt) ta có:
\(SN = \sqrt {M{N^2} + M{S^2}} \)\(\;= \sqrt {{{\left( {12} \right)}^2} + {{\left( 9 \right)}^2}} = 15\left( {cm} \right)\)
Vậy đường tròn ngoại tiếp tứ giác MNRS có tâm O và bán kính là
\({{SN} \over 2} = {{15} \over 2} = 7,5\,\left( {cm} \right)\)
