Bài 1,2,3, 4,5 trang 60,61 giải tích lớp 12: Hàm số lũy thừa

Tóm tắt lý thuyết và hướng dẫn giải Bài 1 trang 60, bài 2,3,4,5 trang 61 SGK giải tích lớp 12: Hàm số lũy thừa

A. Tóm tắt lý thuyết: Hàm số lũy thừa

1. Khái niệm hàm số lũy thừa

Hàm số lũy thừa là các hàm số dạng y= x^α, với α là một số thực đã cho. Các hàm số  lũy thừa có tập xác định khác nhau, tùy theo α:

– Nếu α ∈ ℤ⁺ thì tập các định là ℝ.

– Nếu α ∈ ℤ ℤ⁺ thì tập các định là ℝ{0}.

– Nếu α ∈ ℤ thì tập các định là (0; +∞).

2. Đạo hàm của hàm số lũy thừa với số mũ tổng quát 

– Hàm số y= x^α  có đạo hàm tai mọi x ∈ (0; +∞) và (x^α)^’= αx^α-1

– Nếu hàm số u=u(x) nhận giá trị dương và có đạo hàm trong khoảng J thì hàm số

y= u^α(x) cũng có đạo hàm trên J và (u^α(x))^’= αu^α-1(x)u’(x).

3. Đạo hàm của hàm số lũy thừa với số mũ nguyên dương

Trong trường hợp số mũ nguyên dương, hàm số lũy thừa y= xⁿ có tập xác định là ℝ và có đạo hàm trên toàn trục số. Công thức tính đạo hàm số lũy thừa tổng quát được mở rộng thành ∀x, (xⁿ)^’= nx^n-1 và  ∀x ∈ J, (uⁿ(x))^’= nu^n-1(x)u^’(x) nếu u= u(x) có đạo hàm trong khoảng J.

4. Đạo hàm của hàm số  lũy thừa với số mũ nguyên âm

Nếu số mũ là số nguyên âm thì hàm số lũy thừa y= xⁿ có tập xác định là ℝ và có đạo hàm tại mọi x khác 0, công thức đạo hàm hàm số lũy thừa tổng quát được mở rộng thành ∀x # 0,(xⁿ)^’= nx^n-1 và  ∀x ∈ J, (uⁿ(x))^’= nu^n-1(x)u^’(x) nếu  u= u(x) # 0 có đạo hàm trong khoảng J

B. Giải bài tập 1,2,3,4,5 trang 60,61 SGK Giải Tích 12

Bài 1: Tìm tập xác định của các hàm số:

Đáp án bài 1:

a) Xác định khi 1 -x > 0 ⇔ x <1. Tập xác định là (-∞;1)

xác định khi 2 -x² > 0 ⇔ -√2 < x < √2
Tập xác định là (-√2;√2)

c) y = (x² – 1)-² xác định khi x² -1 ≠ 0 ⇔ x ≠ ±1
Tập xác định là R\{-1;1}

d) y = (x² – x -2)√2 xác định khi x² -x–2 >0 ⇔ x < -1; x > 2
Tập xác định là (-∞; -1) ∪ (2; +∞)

---

Bài 2: Tìm các đạo hàm của các hàm số:

Đáp án  bài 2:

---

Bài 3: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số:

a) 1. Tập xác định D = (0;+∞)
2. Sự biến thiên
Đạo hàm: y’ = 4/3 x(mũ 1/3) > 0 ∀x > 0
Ta có y’ > 0 trên khoảng (0; +∞) nên hàm số đồng biến
Bảng biến thiên:

b) y = x-³
1. Tập xác định: R \ {0}
2. Sự biến thiên

=> đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là Ox, tiệm cận đứng là Oy
4. Đồ thị:

---

Bài 4: Hãy so sánh các số sau với 1:

Hướng dẫn giải bài 4:

---

Bài 5: Hãy so sánh các cặp số sau:

Hướng dẫn giải bài 5: