1. Cho tứ giác lồi ABCD. Gọi M, N, P, Qlần lượt là trung điểm AB, BC, CD, DA. Chứng minh rằng
a. Chứng minh rằng \(\overrightarrow {MP} = \dfrac{1 }{ 2}\left( {\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {BC} } \right)\) .
b. Hai tam giác ANP và CMQ có cùng trọng tâm.
2. Cho tam giác ABC. Xác định các điểm I, J sao cho
\(\overrightarrow {IA} + 2\overrightarrow {IB} = \overrightarrow 0 ,\)\(\,\overrightarrow {JA} + \overrightarrow {JB} + 2\overrightarrow {JC} = \overrightarrow 0 \) .
3. Cho hai điểm cố định A, B. Tìm tập hợp các điểm M sao cho
\(\left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} } \right| = \left| {\overrightarrow {MA} – \overrightarrow {MB} } \right|\) .
4. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho ba điểm \(A(1;2), B(-3;-2), C(5;-1).\)
a. Chứng minh A, B, C là ba đỉnh của một tam giác.
b. Tìm tọa độ của véc tơ trung tuyến \(\overrightarrow {AM} \) của tam giác ABC.
c. Tìm tọa độ điểm D sao cho ABCD là hình bình hành.
1.
a. \(\dfrac{1 }{2}\left( {\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {BC} } \right) \)
\(= \dfrac{1 }{ 2}\left( {\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {MP} + \overrightarrow {PD} + \overrightarrow {BM} + \overrightarrow {MP} + \overrightarrow {PC} } \right)\)
\( = \dfrac{1 }{ 2}\left( {2\overrightarrow {MP} + \overrightarrow {AM} + \overrightarrow {BM} + \overrightarrow {PC} + \overrightarrow {PD} } \right)\)
Advertisements (Quảng cáo)
\(= \overrightarrow {MP} \)
b. Theo tính chất đường trung bình \(\overrightarrow {MN} = \dfrac{1}{ 2}\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {PQ} = \dfrac{1 }{2}\overrightarrow {AC} \) .
Gọi G là trọng tâm tam giác ANP. Ta có \(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GN} + \overrightarrow {GP} = \overrightarrow 0 \) .
Suy ra:
\(\overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GM} + \overrightarrow {GQ} \)
\(= \overrightarrow {GA} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {GN} + \overrightarrow {MN} + \overrightarrow {GP} + \overrightarrow {PQ} \)
\( = \overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GN} + \overrightarrow {GP} + \overrightarrow {AC} – \dfrac{1 }{ 2}\overrightarrow {AC} – \dfrac{1 }{ 2}\overrightarrow {AC} = \overrightarrow 0 \)
Vậy G là trọng tâm tam giác CNQ.
2. Ta có:
\(\eqalign{ & \overrightarrow {IA} + 2\overrightarrow {IB} = \overrightarrow 0 \cr& \Leftrightarrow \overrightarrow {IA} + 2\left( {\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {AB} } \right) = \overrightarrow 0 \cr & {\rm{ }} \Leftrightarrow 3\overrightarrow {IA} + 2\overrightarrow {AB} \Leftrightarrow \overrightarrow {AI} = {2 \over 3}\overrightarrow {AB} \cr} \) .
Suy ra I là điểm trên cạnh AB sao cho \(AI = \dfrac{2 }{ 3}AB\).
Advertisements (Quảng cáo)
Gọi K là trung điểm AB. Ta có
\(\overrightarrow {JA} + \overrightarrow {JB} + 2\overrightarrow {JC} = \overrightarrow 0\)
\( \Leftrightarrow 2\overrightarrow {JK} + 2\overrightarrow {JC} = \overrightarrow 0 \)
\(\Leftrightarrow \overrightarrow {JK} + \overrightarrow {JC} = \overrightarrow 0 \)
Suy ra J là trung điểm KC.
3.
Gọi O là trung điểm AB.
Ta có: \(\left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} } \right| = \left| {\overrightarrow {MA} – \overrightarrow {MB} } \right| \)
\(\Leftrightarrow \left| {2\overrightarrow {MO} } \right| = \left| {\overrightarrow {BA} } \right|\)
\(\Leftrightarrow MO = \dfrac{1 }{ 2}AB\) .
M cách O cố định một đoạn không đổi bằng \(\dfrac{1 }{ 2}AB\) nên tập hợp các điểm M là đường trong tâm O bán kính \(\dfrac{1 }{2}AB\) hay có đường kính là AB.
4. a. Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( { – 4; – 4} \right),\overrightarrow {AC} = \left( {4; – 3} \right)\) .
Mà \(\dfrac{{ – 4}}{{ – 4}} \ne \dfrac{{ – 4}}{{ – 3}}\) . Suy ra \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} \) không cùng phương.
Vậy A, B, C không thẳng hàng hay A, B, C là ba đỉnh của một tam giác.
b. Gọi M là trung điểm BC. Tọa độ của M là \(\left( {\dfrac{{{x_B} + {x_c}}}{2};\dfrac{{{y_B} + {y_C}}}{2}} \right) = \left( {1; – \dfrac{3}{2}} \right).\)
Suy ra \(\overrightarrow {AM} = \left( {0; – {7 \over 2}} \right)\) .
c. ABCD là hình bình hành khi và chỉ khi \(\overrightarrow {DC} = \overrightarrow {AB} \) .
Mà \(\overrightarrow {DC} = \left( {5 – {x_D}; – 1 – {y_D}} \right),\)\(\,\overrightarrow {AB} = \left( { – 4, – 4} \right)\) .
Do đó \(\left\{ \matrix{ 5 – {x_D} = – 4 \hfill \cr – 1 – {y_D} = – 4 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ {x_D} = 9 \hfill \cr {y_D} = 3 \hfill \cr} \right.\) .
Vậy \(D = \left( {9;3} \right)\) .
