Phương trình đường tròn – Hình 10: Đáp án và hướng dẫn giải bài 1,2 trang 830, bài 3,4,5,6 trang 84 sách giáo khoa.
Bài 1.Tìm tâm và bán kính của các đườngtròn sau:
a) x2+ y2– 2x – 2y – 2 = 0
b) 16x2+ 16y2+ 16x – 8y – 11 = 0
c) x2 + y2 – 4x + 6y – 3 = 0.
Đáp án bài 1:
a) Ta có : -2a = -2 => a = 1
-2b = -2 => b = 1 => I(1; 1)
R2 = a2 + b2 – c = 12 + 12 – (-2) = 4 => R = 2
b) Tương tự, ta có : I (-1/2;1/4); R = 1
c) I(2; -3); R = 4
Bài 2 trang 83.Lập PT đường tròn(C) trong các trường hợp sau:
a) (C) có tâm I(-2; 3) và đi qua M(2; -3);
b) (C) có tâm I(-1; 2) và tiếp xúc với đường thẳng d : x – 2y + 7 = 0
c) (C) có đường kính AB với A(1; 1) và B(7; 5)
Giải: a) Ta tìm bán kính R2 = IM2 => R2 = IM = (2 + 2)2 + (-3 -32) = 52
PT đường tròn(C): (x +2)2 + (y – 3)2 =52
b) Bán kính của đườngtròn R = d(I,d) =
PT đường tròn(C) có tâm I và với đường thẳng d;
c) Đường tròn , đường kính AB có tâm I là trung điểm của AB nên I (4;3)
Bán kính R = IA = √(9+4) = √13. Phtrình đường tròn(C)
(x – 4)² + (y -3)² = 13
Bài 3. Lập phtrình đường tròn đi qua ba điểm:
a) A(1; 2); B(5; 2); C(1; -3)
b) M(-2; 4); N(5; 5); P(6; -2)
Giải: a) Sử dụng phương-trình-đường-tròn : x2 – y2 – ax – 2by +c = 0
Đg tròn đi qua điểm A(1; 2):
12 + 22 – 2a -4b + c = 0 <=> 2a + 4b – c = 5
Advertisements (Quảng cáo)
Đg tròn đi qua điểm B(5; 2):
52 + 22 – 10a -4b + c = 0 <=> 10a + 4b – c = 29
Đg tròn đi qua điểm C(1; -3):
12 + (-3)2 – 2a + 6b + c = 0 <=> 2a – 6b – c = 10
Lấy (2) trừ cho (1) ta được phương trình: 8a = 24 => a = 3
Lấy (3) trừ cho (1) ta được phương trình: -10b = 5 => b = – 0,5
Thế a = 3 ; b = -0.5 vào (1) ta tính được c = -1
Ta được PT đườngtròn đi qua ba điểm A, B, C là :
x2 + y2 – 6x + y – 1 = 0
Chú ý:
Tâm I(x; y) của đường tròn đi qua ba điểm A, B, C là điểm cách đều ba điểm ấy, hay
IA = IB = IC => IA2 = IB2 = IC2
Từ đây suy ra x, y là nghiệm của hệ:
Từ đây ta tìm được R và viết được PTrinh đường tròn.
b) Ta tính được I(2; 1), R= 5
Phương-trình-đường-tròn đi qua ba điểm M(-2; 4); N(5; 5); P(6; -2) là:
Advertisements (Quảng cáo)
(x – 2)2 + (y – 1)2 = 25 <=> x2 – y2 – 4x – 2y – 20 = 0
Bài 4 trang 84 Hình học 10. Lập phương-trình đường-tròn tiếp xúc với hai trục tọa độ Ox, Oy và đi qua điểm M(2 ; 1)
Đường tròn tiếp xúc với hai trục tọa độ nên tâm I của nó phải cách đều hai trục tọa độ. Đường tròn này lại đi qua điểm M(2 ; 1), mà điểm M này lại là góc phần tư thứ nhất nên tọa độ của tâm I phải là số dương.
xI= yI > 0
gọi xI= yI = a. Như vậy phương-trình đường-tròn cần tìm là :
(2 – a)2 + (1 – a)2 = a2
a2 – 6a + 5 = 0 => a = 1 hoặc a = 5
Từ đây ta được hai đường tròn thỏa mãn điều kiện
+ Với a = 1 => (C1) => (x – 1 )2 + (y – 1)2 = 1
x2 + y2 – 2x – 2y + 1 = 0
+ Với a = 1 => (C2) => (x – 5 )2 + (y – 5)2 = 25
x2 + y2 – 10x – 10y + 25 = 0
Bài 5. Lập phương trình của đườngtròn tiếp xúc với các trục tọa độ và có tâm ở trên đường thẳng d : 4x – 2y – 8 = 0
Vì đườngtròn cần tìm tiếp xúc với hai trục tọa độ nên các tọa độ xI ,yI của tâm I có thể là xI = yI hoặc xI = -yI
Đặt xI = a thì ta có hai trường hợp I(a ; a) hoặc I(-a ; a). Ta có hai khả năng:
Vì I nằm trên đường thẳng 4x – 2y – 8 = 0 nên với I(a ; a) ta có:
4a – 2a – 8 = 0 => a = 4
Đường-tròn cần tìm có tâm I(4; 4) và bán kính R = 4 có phương trình:
(x – 4 )2 + (y – 4)2 = 42
x2 + y2 – 8x – 8y + 16 = 0
+ Trường hợp I(-a; a):
-4a – 2a – 8 = 0 => a = -4/3
Ta được đường-tròn có phương trình:
Bài 6. Cho đường tròn(C) có phương trình:
x2 + y2 – 4x + 8y – 5 = 0
a) Tìm tọa độ tâm và bán kính của (C)
b) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) đi qua điểm A(-1; 0)
c) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) vuông góc với đường thẳng 3x – 4y + 5 = 0
Giải bài 6:
a) Tâm I(2 ; -4), R = 5
b) Đường tròn có phương trình: (x – 2 )2 + (y + 4)2 = 25
Thế tọa độ A(-1 ; 0) vào vế trái, ta có :
(-1- 2 )2 + (0 + 4)2 = 32 + 42 = 25
Vậy A(-1 ;0) là điểm thuộc đường tròn.
Áp dụng công thức tiếp tuyến (Xem sgk)
Ta được pt tiếp tuyến với đườngtròn tai A là:
(-1 – 2)(x – 2) + (0 + 4)(y + 4) = 25 <=> 3x – 4y + 3 = 0
Chú ý:
1. Theo tính chất tiếp tuyến với đườngtròn tại 1 điểm thuộc đườngtròn thì vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm, ta có thể giải câu này như sau:
Vectơ IA = (-3; 4)
Tiếp tuyến đi qua A(-1; 0) và nhận →IA làm một vectơ pháp tuyến có phương trình:
-3(x + 1) + 4(y – 0) = 0 ,<=> 3x – 4y + 3 = 0
c) Đường thẳng d vuông góc với đường thẳng 3x – 4y + 5 = 0 có phương trình là: 4x + 3y + c = 0
d là tiếp tuyến của đường tròn(C) khi d (I,d) = R
