Bài 1,2,3,4,5 trang 88 Hình học lớp 10: Phương trình đường elip

Đáp án và Giải bài 1,2,3,4,5 trang 88 SGK Hình học lớp 10: Bài Phương trình đường elip.

Bài 1. Xác đinh độ dài các trục, tọa độ tiêu điểm , tọa độ các đỉnh và vẽ các elip có phươngtrình sau:
a) x²/25 + y²/9 = 1;

b)4x² + 9y² = 1;

c)4x² + 9y² = 36;

HD. a) Ta có:

a² = 25 ⇒ a = 5 độ dài trục lớn 2a = 10

b² = 9 ⇒ b = 3 độ dài trục nhỏ 2a = 6

c² = a² – b² = 25 – 9 = 16 ⇒c = 4

Vậy hai tiêu điểm là : F₁(-4 ; 0) và F₂(4 ; 0)

Tọa độ các đỉnh :   A₁(-5; 0), A₂(5; 0),  B₁(0; -3),  B₂(0; 3).

b) 4x² + 9y² = 1

⇔ x² / (1/4) + y² / (1/9) = 1

Ta có:

a²=  1/4   ⇒ a = 1/2   ⇒ độ dài trục lớn 2a = 1

b² =  1/9 ⇒ b = 1/3 ⇒ độ dài trục nhỏ 2b = 2/3

c² = a² – b²  = 1/4 – 1/9 = 5/36 ⇒ c = (√5)/6

Vậy hai tiêu điểm là : F₁(-√5/6; 0) và F₂(√5/6; 0)

Tọa độ các đỉnh : A₁(-1/2; 0), A₂(1/2; 0),  B₁(0; -1/3 ),  B₂(0;1/3 ).

c) Chia 2 vế của phươngtrình cho 36 ta được :

⇒ x²/9 + y²/4 = 1

Từ đây suy ra: 2a = 6.     2b = 4,    c = √5

Vậy hai tiêu điểm là :  F₁(-√5 ; 0) và F₂(√5 ; 0)

Tọa độ các đỉnh:  A₁(-3; 0), A₂(3; 0),  B₁(0; -2),  B₂(0; 2).

---

Bài 2 trang 88. Lập Ptrình chính-tắc củaelip, biết:

a)  Trục lớn và trục nhỏ lần lươt  là 8 và 6

b) Trục lớn bằng 10 và tiêu cự bằng 6

HD.Ptrình chính-tắc của e-lip có dạng 😡²/a² + y²/b² = 1

a) Ta có a > b :

2a = 8 ⇒  a = 4 ⇒  a² = 16

2b = 6 ⇒  b = 3 ⇒  b² = 9

Vậy Ptrình chính tắc của elip có dạng: x²/16 +y²/9 = 1

b) Ta có: 2a = 10 ⇒ a = 5 ⇒ a² = 25

2c = 6 ⇒ c = 3 ⇒ c² = 9

⇒  b² = a² – c²    ⇒  b² = 25 – 9 = 16

Vậy ptrình chínhtắc của elip có dạng: x²/25 +y²/16 = 1

---

Bài 3. Lập PT chínhtắc của e-lip trong các trường hợp sau:

a) E-lip đi qua điểm M(0;3) và N(3;-12/5)

b) E-lip có tiêu điểm là F1(-√3;0) và điểm M(1;√3/2) nằm trên e-lip

Giải: a) (E) : x²/a² + y²/b² = 1

M(0;3) ∈ (E) ⇔ 9/b² = 1 => b =3

N(3;12/5) ∈ (E) <=> 9/a² + 144/25.b² = 1 ⇔ 9/a² + 16/25 = 1 ⇔ a² = 25   ⇒ a= 5

PT chínhtắc của eliplà:  (E): x²/25 + y²/9 = 1

b) Tiêu điểm F1(-c;0) nên C = √3 và M (1; √3/2) thuoc (E) ⇒

1/a² + 3/4b² = 1

a² = b² + c² = b² + 3

Ta có HPT :

PT chínhtắc của (E) = x²/4 + y² = 1

---

Bài 4 trang 88 SGK Hình 10. Để cắt một bảng hiệu quảng cáo hình elipcó các trục lớn là 80cm và trục nhỏ là 40 cm từ một tấm ván ép hình chữ nhật có kích thước 80cm x 40cm, người ta vẽ một hình eliplên tấm ván như hình 3.19. Hỏi phải ghim hai cái đinh cách các mép tấm ván ép bao nhiêu và lấy vòng dây có độ dài là bao nhiêu?

Ta có:

2a  = 80 ⇒ a = 40

2b = 40 ⇒ b = 20

c² = a² – b² = 1200   => c = 20√3

Phải đóng đinh tại các điểm  F₁ , F₂   và cách mép ván:

F₂A  = OA – OF₂ = 40 – 20√3

⇒ F₂A = 20(2 – √3)   ≈  5,4cm

Chu vi vòng dây bằng:   F₁.F₂+ 2a  =   40√3 + 80

⇒ F₁.F₂ + 2a  =   40(2 + √3)

F₁.F₂ + 2a  ≈ 149,3cm

---

Bài 5. Cho hai đường tròn C₁(F₁; R₁)  và C₂(F₂; R₂). C₁ nằm trong C₂ và F₁ ≠  F₂ . Đường tròn (C)   thay đổi luôn tiếp xúc ngoài với C₁ và tiếp xúc trong với  C₂.Hãy chứng tỏ rằng tâm M của đường tròn (C) di động trên một e-lip.

Gọi R là bán kính của đường tròn (C)

(C) và C₁ tiếp xúc ngoài với nhau, cho ta:

MF₁ = R₁+ R  (1)

(C) và C₂ tiếp xúc ngoài với nhau, cho ta:

MF₂ = R₂ – R  (2)

Từ (1) VÀ (2) ta được

MF₁  +   MF₂ = R₁+ R₂= R không đổi

Điểm M có tổng  các khoảng cách MF₁  +   MF₂ đến hai điểm cố định F₁ và F₂   bằng một độ dài không đổi R₁+ R₂

Vậy tập hợp điểm M là đường e-lip, có các tiêu điểm F₁ và F₂   và có tiêu cự

F_{1 .}F₂ = R₁+ R₂