[Đề số 3] Đề thi học kì 1 Toán 6: Trong 3 tia Ox, Oy, Ot tia nào nằm giữa hai tia còn lại?

1. (1đ):Sắp xếp các phân số sau theo thứ tự tăng dần:

\(\dfrac{1}{5}\,\,;\,\,\dfrac{1}{{ – 3}}\,\,;\,\,\dfrac{1}{{30}}\,\,;\,\,\dfrac{{ – 1}}{6}\)

2. (3đ):Thực hiện phép tính (tính nhanh nếu có thể):

a) \(\dfrac{9}{{15}} + \dfrac{{ – 1}}{{25}} + \dfrac{{ – 7}}{{20}}\)

b) \(\dfrac{{ – 3}}{8} + \dfrac{{12}}{{25}} + \dfrac{5}{{ – 8}} + \dfrac{2}{{ – 5}} + \dfrac{{13}}{{25}} + 1\)

c) \(\dfrac{{{3^4}.2 – {3^6}}}{{{3^4}.17 + {{4.3}^4}}}\)

3. (3đ):Tìm x biết:

a) \(x – \dfrac{2}{3} = \dfrac{{ – 5}}{{12}}\)

b)\(\dfrac{{x + 5}}{3} = \dfrac{5}{9}\)

c) \(\dfrac{{x – 2}}{{27}} = \dfrac{3}{{x – 2}}\)

4. (2,5đ):Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ chứa tia Ox, vẽ tia Oy và Ot sao cho: góc \(xOy = {30^o}\); góc \(xOt = {60^o}\).

a) Trong 3 tia Ox, Oy, Ot tia nào nằm giữa hai tia còn lại?

b) Tính góc yOt. Tia Oy có phải là phân giác của góc xOt không?

c) Gọi Om là tia đối của tia Ox. Tính góc mOt.

5. (0,5đ):Chứng tỏ với mọi giá trị n là số nguyên thì phân số có dạng \(\dfrac{{n + 1}}{{2n + 3}}\) đều là phân số tối giản.

1.

Sắp xếp các phân số sau theo thứ tự tăng dần:

\(\dfrac{1}{5}\,\,;\,\,\dfrac{1}{{ – 3}}\,\,;\,\,\dfrac{1}{{30}}\,\,;\,\,\dfrac{{ – 1}}{6}\)

Ta có \(\dfrac{1}{5} = \dfrac{6}{{30}}\,\,;\,\,\dfrac{1}{{ – 3}} = \dfrac{{ – 1}}{3} = \dfrac{{ – 2}}{6}\) mà \(\dfrac{{ – 2}}{6} < \dfrac{{ – 1}}{6} < 0 < \dfrac{1}{{30}} < \dfrac{6}{{30}}\)

\( \Rightarrow \dfrac{1}{{ – 3}} < \dfrac{{ – 1}}{6} < 0 < \dfrac{1}{{30}} < \dfrac{1}{5}\).

Vậy ta sắp xếp các phân số theo thứ tự tăng dần như sau:\(\dfrac{1}{{ – 3}}\,\,;\,\,\dfrac{{ – 1}}{6}\,\,;\,\,\dfrac{1}{{30}}\,\,;\,\,\dfrac{1}{5}\)

2.

Thực hiện phép tính (tính nhanh nếu có thể):

a) \(\dfrac{9}{{15}} + \dfrac{{ – 1}}{{25}} + \dfrac{{ – 7}}{{20}}\\ = \dfrac{3}{5} + \dfrac{{ – 1}}{{25}} + \dfrac{{ – 7}}{{20}} \\= \dfrac{{3.20 – 1.4 – 7.5}}{{100}} \\= \dfrac{{60 – 4 – 35}}{{100}} = \dfrac{{21}}{{100}}\)

b) \(\dfrac{{ – 3}}{8} + \dfrac{{12}}{{25}} + \dfrac{5}{{ – 8}} + \dfrac{2}{{ – 5}} + \dfrac{{13}}{{25}} + 1 \\= \left( {\dfrac{{ – 3}}{8} + \dfrac{{ – 5}}{8}} \right) + \left( {\dfrac{{12}}{{25}} + \dfrac{{13}}{{25}}} \right) + 1 – \dfrac{2}{5} \\=  – 1 + 1 + 1 – \dfrac{2}{5} = \dfrac{3}{5}\)

c) \(\dfrac{{{3^4}.2 – {3^6}}}{{{3^4}.17 + {{4.3}^4}}}\\ = \dfrac{{{3^4}\left( {2 – {3^2}} \right)}}{{{3^4}\left( {17 + 4} \right)}}\\ = \dfrac{{2 – {3^2}}}{{17 + 4}}\\ = \dfrac{{ – 7}}{{21}} =  – \dfrac{1}{3}.\)

3.

\(\begin{array}{l}a)\;x – \dfrac{2}{3} = \dfrac{{ – 5}}{{12}}\\ \Leftrightarrow x = \dfrac{{ – 5}}{{12}} + \dfrac{2}{3}\\ \Leftrightarrow x = \dfrac{{ – 5 + 2.4}}{{12}}\\ \Leftrightarrow x = \dfrac{3}{{12}} = \dfrac{1}{4}.\end{array}\)

\(\begin{array}{l}b)\;\dfrac{{x + 5}}{3} = \dfrac{5}{9}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{\left( {x + 5} \right).3}}{9} = \dfrac{5}{9}\\ \Leftrightarrow \left( {x + 5} \right).3 = 5\\ \Leftrightarrow x + 5 = \dfrac{5}{3}\\ \Leftrightarrow x = \dfrac{5}{3} – 5\\ \Leftrightarrow x = \dfrac{{ – 10}}{3}\end{array}\)

\(\begin{array}{l}c)\;\dfrac{{x – 2}}{{27}} = \dfrac{3}{{x – 2}}\\ \Leftrightarrow {\left( {x – 2} \right)^2} = 3.27 = 81\\ \Leftrightarrow \left| {x – 2} \right| = 9\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x – 2 = 9\\x – 2 =  – 9\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 11\\x =  – 7\end{array} \right..\end{array}\)

4.

Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ chứa tia Ox, vẽ tia Oy và Ot sao cho: góc \(xOy = {30^o}\); góc \(xOt = {60^o}\).

a) Trong 3 tia Ox, Oy, Ot tia nào nằm giữa hai tia còn lại?

Ta có \(\angle xOy < \angle xOt\,\,({30^o} < {60^o})\)

Vậy Oy nằm giữa Ox và Ot.

b) Tính góc yOt. Tia Oy có phải là phân giác của góc xOt không?

Vì Oy nằm giữa Ox và Ot\( \Rightarrow \angle xOy + \angle yOt = \angle xOt\)

\( \Rightarrow \angle yOt = \angle xOt – \angle xOy = {60^o} – {30^o} = {30^o}\)

Vì \(\angle xOy = \angle yOt\,\,( = {30^o})\)và Oy nằm giữa Ox và Ot nên Oy là phân giác của góc xOt

c) Gọi Om là tia đối của tia Ox. Tính góc mOt.

Vì Om là tia đối của tia Ox\( \Rightarrow \angle xOm = {180^o} \Rightarrow \angle xOm > \angle xOt\)

\( \Rightarrow \)Ot nằm giữa Ox và Om \( \Rightarrow \angle xOt + \angle mOt = \angle xOm\)

\( \Rightarrow \angle mOt = \angle xOm – \angle xOt = {180^o} – {60^o} = {120^o}\)

5.

Chứng tỏ với mọi giá trị n là số nguyên thì phân số có dạng \(\dfrac{{n + 1}}{{2n + 3}}\) đều là phân số tối giản.

Gọi \(d = UCLN\left( {n + 1;2n + 3} \right).\) Nên suy ra:

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}\left( {n + 1\,} \right)\, \vdots \,\,d\\\left( {2n + 3} \right)\,\, \vdots \,\,d\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}2\left( {n + 1} \right)\,\, \vdots \,\,d\\\left( {2n + 3\,} \right)\, \vdots \,\,d\end{array} \right. \\\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {2n + 2} \right)\,\, \vdots \,\,d\\\left( {2n + 3\,} \right)\, \vdots \,\,d\end{array} \right.\\ \Rightarrow \left[ {\left( {2n + 3} \right) – \left( {2n + 2} \right)} \right]\,\, \vdots \,\,d\\ \Rightarrow \left( {2n + 3 – 2n – 2} \right)\,\, \vdots \,\,d \Rightarrow 1\,\, \vdots \,\,d \Rightarrow d = 1.\end{array}\)

\( \Rightarrow UCLN\left( {n + 1;2n + 3} \right)\,\, = 1\)

\( \Rightarrow \) Phân số \(\dfrac{{n + 1}}{{2n + 3}}\) là phân số tối giản.

Vậy với mọi giá trị n là số nguyên thì phân số có dạng \(\dfrac{{n + 1}}{{2n + 3}}\) đều là phân số tối giản.