Đề kiểm tra – Chương 1 – Ôn tập và bổ túc về số tự nhiên 15 phút lớp 6 môn Toán: Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho 1 + 3 + 5 + …+ (2n – 1) chia hết cho 5

Bài 1. Chứng tỏ: n² + n + 1 không chia hết cho 2, với mọi \(n ∈\mathbb  N\)

Bài 2. Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho 1 + 3 + 5 + …+ (2n – 1) chia hết cho 5

Bài 1. Ta có:

n² + n + 1 = (n² + n) + 1 = n(n + 1) + 2

n và n + 1 là hai số tự nhiên liên tiếp nên luôn có một số chẵn và một số lẻ

⇒ n(n + 1) chia hết cho 2; 1 không chia hết cho 2

⇒ n(n + 1) + 1 không chia hết cho 2

Cách khác

+ Xét n = 2k, k ∈ N ⇒ n² = 4k²

⇒ n² + n + 1 = 4k² + 2k + 1;        4k² ⋮ 2;   2k ⋮ 2;   1 không chia hết cho 2

n² = (2k + 1)(2k + 1) = 4k² + 2k + 2k + 1 = 4k² + 4k + 1

⇒ n² + n + 1  = (4k² + 4k + 1) +(2k + 1) + 1

= 4k² + 6k + 3;

4k² ⋮ 2; 6k ⋮ 2; 3 không chia hết cho 2

⇒ n² + n + 1 không chia hết cho 2

Bài 2. Ta có:

1 + 3 + 5 + …+ (2n – 1) là tổng của n số lẻ tự nhiên

⇒ 1 + 3 + 5 + …+ (2n – 1)  = n² (n ∈  N*)

n² ⋮ 5 khi n = 5k, k ∈  N* (với n = 5k + 1, 5k + 2, 5k + 3, 5k + 4 thì n không chia hết cho 5)