Đề kiểm tra 1 tiết Chương 2 – Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu Hình học 12: Thể tích khối nón là bao nhiêu?

1. Cho hình nón tròn xoay có thiết diện qua trục là một tam giác vuông cân. Trong các khẳng định sau khẳng định nào sai?

A. Đường cao của hình nón bằng bán kính đáy của nó.

B. Đường sinh hợp với đáy một góc \({45^o}\).

C. Đường sinh hợp với trục một góc \({45^o}\).

D. Hai đường sinh tùy ý thì vuông góc với nhau.

2. Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\), có \(AB = 3cm,\,AC = 4cm\). Gọi \({V_1},\,\,{V_2},\,\,{V_3}\) lần lượt là thể tích của khối tròn xoay hình thành khi quay tam giác \(ABC\) quanh \(AB,\,AC\) và \(BC\). Trong các kết luận sau, kết luận nào đúng?

A. \({V_1} > \,{V_2} > \,{V_3}\).     B. \({V_2} > \,\,{V_1} > \,\,{V_3}\).

C. \({V_3} > \,\,{V_1} > \,\,{V_2}\).    D. \({V_3} = \,\,{V_1} + \,\,{V_2}\).

3. Một khối tứ diện đều cạnh \(a\) nội tiếp một hình nón. Thể tích khối nón là:

A. \(\dfrac{{\sqrt 3 \pi {a^3}}}{{27}}\).          B. \(\dfrac{{\sqrt 6 \pi {a^3}}}{{27}}\).

C. \(\dfrac{{\sqrt 3 \pi {a^3}}}{9}\).          D. \(\dfrac{{\sqrt 6 \pi {a^3}}}{9}\).

4. Diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay bằng.

A. một nửa tích của chu vi đáy với độ dài đường cao của nó.

B. một nửa tích của chu vi đáy với độ dài đường sinh của nó.

C. tích của chu vi đáy với độ dài đường cao của nó.

D. tích của chu vi đáy với độ dài đường sinh của nó.

5. Một hình nón \(\left( N \right)\) sinh bởi một tam giác đều cạnh \(a\) khi quay quanh một đường cao. Diện tích xung quanh của hình nón đó bằng

A. \(\dfrac{{\pi {a^2}}}{4}\).                B. \(\dfrac{{\pi {a^2}}}{2}\).

C. \(\dfrac{{\pi {a^2}\sqrt 3 }}{4}\).          D. \(\pi {a^2}\).

6. Mệnh đề  nào sau đây là mệnh đề sai?

A.  Hình trụ luông chứa một đường tròn.

B. Hình nón luông chứa một đường tròn.

C. Hình nón luôn chứa một đường thẳng.

D. Mặt trụ luôn chứa một đường thẳng.

7.: Cho hai điểm cố định \(A,B\) cố định, \(M\) là điểm di động trong không gian sao cho góc giữa đường thẳng \(AB\) và \(AM\) bằng \(30^\circ \). Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng ?

A. \(M\) thuộc mặt cầu cố định.

B. \(M\) thuộc mặt trụ cố định.

C. \(M\) thuộc mặt phẳng cố định.

D. \(M\) thuộc mặt nón cố định.

8. Cho mặt phẳng \(\left( P \right)\) và một điểm \(I\) cố định trên mặt phẳng \(\left( P \right)\). Gọi \(d\) là đường vuông góc với mặt phẳng \(\left( P \right)\) và cách \(I\) một khoảng \(k\) không đổi. Tập hợp các đường thẳng \(d\) là

A. một đường thẳng.

B. một mặt cầu.

C. một mặt trụ.

D. một mặt nón.

9. Hình chữ nhật \(ABCD\) có \(AB = 3{\rm{ cm }},AD = 5{\rm{ cm}}\). Thể tích tích khối trụ hình thành được khi quay hình chữ nhật \(ABCD\) quanh đoạn \(AB\) bằng

A. \(25\pi {\rm{ c}}{{\rm{m}}^3}.\)          B. \(75\pi {\rm{ c}}{{\rm{m}}^3}.\)

C. \(50\pi {\rm{ c}}{{\rm{m}}^3}.\)          D. \(45\pi {\rm{ c}}{{\rm{m}}^3}.\)

10: Cho hình lăng trụ đứng \(ABC.A’B’C’\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông cân tại \(A\) , với \(AB = a\). Góc giữa \(A’B\) và mặt phẳng đáy bằng \(45^\circ \). Diện tích xung quanh của hình  trụ ngoại tiếp lăng trụ \(ACB.A’B’C’\) bằng

A. \(\pi {a^2}.\)    B.\(\sqrt 3 \pi {a^2}.\)

C. \(2\pi {a^2}.\) D. \(\sqrt 2 \pi {a^2}.\)

11: Thiết diện qua trục của một hình trụ là hình vuông cạnh \(2a\). Gọi \({S_1}\) và \({S_2}\) lần lượt là diện tích xung quanh, diện tích toàn phần của hình trụ. Chọn kết luận đúng trong các kết luận sau:

A. \(4{S_1} = 3{S_2}.\)     B. \(3{S_1} = 2{S_2}.\)

C. \(2{S_1} = {S_2}.\)       D.\(2{S_1} = 3{S_2}.\)

12: Tỉ số thể tích của khối trụ nội tiếp và khối trụ ngoại tiếp hình lập phương có cạnh bằng \(a\) bằng

A. \(\dfrac{1}{2}.\)                  B. \(\dfrac{1}{3}.\)

C.\(\dfrac{1}{6}.\)                   D.\(\dfrac{1}{4}.\)

13: Mặt cầu \(\left( S \right)\) có thể tích \(36\pi {\rm{ c}}{{\rm{m}}^3}\). Diện tích của mặt cầu \(\left( S \right)\) bằng

A. \(24\pi {\rm{ c}}{{\rm{m}}^2}.\)          B. \(36\pi {\rm{ c}}{{\rm{m}}^2}.\)

C. \(18\pi {\rm{ c}}{{\rm{m}}^2}.\)          D. \(20\pi {\rm{ c}}{{\rm{m}}^2}.\)

14: Mặt cầu \(\left( S \right)\) có diện tích \(16\pi {\rm{ c}}{{\rm{m}}^2}\). Diện tích của đường tròn lớn của mặt cầu \(\left( S \right)\) bằng

A. \(4\pi {\rm{ c}}{{\rm{m}}^2}.\)          B. \(6\pi {\rm{ c}}{{\rm{m}}^2}.\)

C. \(8\pi {\rm{ c}}{{\rm{m}}^2}.\)        D. \(2\pi {\rm{ c}}{{\rm{m}}^2}.\)

15: Cho măt cầu \(\left( S \right)\) tâm \(O\), có bán kính bằng \(r = 5{\rm{ cm}}\). Đường thẳng \(\Delta \) cắt mặt cầu \(\left( S \right)\) theo một dây cung\(AB = 6{\rm{ cm}}\). Khoảng cách từ \(O\) đến đường thẳng \(\Delta \) bằng

A. \(3{\rm{ cm}}{\rm{.}}\)     B. \(4\sqrt 2 {\rm{ cm}}\).

C. \(5{\rm{ cm}}{\rm{.}}\)     D. \(4{\rm{ cm}}{\rm{.}}\)

16: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A. Mọi hình hộp đều có mặt cầu ngoại tiếp.

B. Mọi hình hộp đứng đều có mặt cầu ngoại tiếp.

C. Mọi hình hộp có một mặt bên vuông góc với đáy đều có mặt cầu ngoại tiếp.

D. Mọi hình hộp chữ nhật đều có mặt cầu ngoại tiếp.

17: Trong số các hình hộp nội tiếp một mặt cầu bán kính \(R\) thì

A. hình hộp có đáy là hình vuông có thể tích lớn nhất.

B. hình lập phương có thể tích lớn nhất.

C. hình hộp có các kích thước tạo thành cấp số cộng công sai khác \(0\) có thể tích lớn nhất.

D. hình hộp có các kích thước tạo thành cấp số nhân công bội khác \(1\) có thể tích lớn nhất.

18: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A. Hình chóp có đáy là tứ giác thì có mặt cầu ngoại tiếp.

B. Hình chóp có đáy là hình thang vuông thì có mặt cầu ngoại tiếp.

C. Hình chóp có đáy là hình bình hành thì có mặt cầu ngoại tiếp.

D. Hình chóp có đáy là hình thang cân thì có mặt cầu ngoại tiếp.

19: Mặt cầu tiếp xúc với các cạnh của tứ diện đều \(ABCD\) cạnh \(a\) có bán kính là?

A. \(\dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}.\)   B. \(\dfrac{{a\sqrt 2 }}{4}.\)

C. \(a\sqrt 2 .\)      D. \(2a\sqrt 2 .\)

20: Cho ba điểm \(A,\,B,\,C\) cùng nằm trên một mặt cầu, biết rằng góc \(\widehat {ACB} = 90^\circ \). Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

A. \(AC\) là một đường kính của mặt cầu.

B. Luôn có một đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\) nằm trên mặt cầu.

C. Tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(C\).

D. Mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) cắt mặt cầu theo giao tuyến là một đường tròn lớn.

1. Hai đường sinh bất kì của nón có thể không vuông góc.

Chọn D.

2.

\(\begin{array}{l}BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}}  = \sqrt {{3^2} + {4^2}}  = 5\\\dfrac{1}{{A{H^2}}} = \dfrac{1}{{A{B^2}}} + \dfrac{1}{{A{C^2}}} = \dfrac{1}{{{3^2}}} + \dfrac{1}{{{4^2}}}\\ \Rightarrow AH = 2,4\end{array}\)

Thể tích của khối tròn xoay khi cho tam giác ABC quay quanh AB là:

\({V_1} = \dfrac{1}{3}\pi {.4^2}.3 = 16\pi \left( {c{m^3}} \right)\)

Thể tích của khối tròn xoay khi cho tam giác ABC quay quanh AC là:

\({V_2} = \dfrac{1}{3}\pi {.3^2}.4 = 12\pi \left( {c{m^3}} \right)\)

Thể tích của khối tròn xoay khi cho tam giác ABC quay quanh BC là:

\({V_3} = \dfrac{1}{3}\pi .2,{4^2}.5 = 9,6\pi \left( {c{m^3}} \right)\)

Do đó: \({V_3} < {V_2} < {V_1}\)

Chọn A.

3.

Gọi H là trọng tâm tam giác ACD ta có: \(AH \bot \left( {BCD} \right)\)

Đáy hình nón là đường tròn ngoại tiếp tam giác đều nên bán kính \(r = BH = \dfrac{2}{3}BI = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}\)

Chiều cao của khối nón là \(h = AH = \sqrt {A{B^2} – B{H^2}}  = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{3}\)

Vậy thể tích cần tìm là: \(V = \dfrac{1}{3}\pi {r^2}h = \dfrac{{\pi {a^3}\sqrt 6 }}{{27}}\)

Chọn B.

5. Hình nón có bán kính đáy \(r = \dfrac{a}{2}\) ; độ dài đường sinh \(l = a\)

Diện tích xung quanh hình nón là:

\({S_{xq}} = \pi rl = \pi .\dfrac{a}{2}.a = \dfrac{{\pi {a^2}}}{2}\)

Chọn B.

9. Khối trụ được tạo thành có bán kính đáy r = 5, chiều cao h = 3

Thể tích khối trụ là: \(V = \pi {r^2}.h = \pi {.5^2}.3 = 75\pi \left( {c{m^3}} \right)\)

Chọn B.

10:

Góc giữa A’B và mặt đáy là \(\widehat {A’BA} = {45^o}\) nên tam giác A’AB vuông cân tại A.

Do đó: AA’ = a

Ta có: \(BC = \sqrt {{a^2} + {a^2}}  = a\sqrt 2 \)

Hình trụ ngoại tiếp lăng trụ có bán kính \(r = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\) , chiều cao \(h = a\)

Diện tích xung quanh của hình trụ là: \({S_{xq}} = 2\pi rh = 2\pi .\dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}.a = \sqrt 2 \pi {a^2}\)

Chọn D.

11: Hình trụ có bán kính \(r = a\) , chiều cao \(h = 2a\)

Diện tích xung quanh của hình trụ là: \({S_1} = 2\pi rh = 2\pi a.2a = 4\pi {a^2}\)

Diện tích toàn phần của hình trụ là: \({S_2} = {S_1} + 2\pi {r^2} = 4\pi {a^2} + 2\pi {a^2} = 6\pi {a^2}\)

Do đó: \(3{S_1} = 2{S_2}\)

Chọn B.

12: Khối trụ nội tiếp có bán kính \(r = \dfrac{a}{2}\) , chiều cao \(h = a\)

Thể tích của khối trụ nội tiếp là: \({V_1} = \pi {r^2}.h = \pi .{\left( {\dfrac{a}{2}} \right)^2}.a = \dfrac{{\pi {a^3}}}{4}\)

Khối trụ ngoại tiếp có bán kính \(R = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\) , chiều cao \(h = a\)

Thể tích của khối trụ ngoại tiếp là: \({V_2} = \pi {R^2}h = \pi {\left( {\dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)^2}.a = \dfrac{{\pi {a^3}}}{2}\)

\( \Rightarrow \dfrac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \dfrac{1}{2}\) .

Chọn A

13: \(\dfrac{4}{3}\pi {R^3} = 36\pi  \Rightarrow R = 3\,cm\)

Diện tích mặt cầu là: \(S = 4\pi {R^2} = 4\pi {.3^2} = 36\pi \left( {c{m^2}} \right)\)

Chọn B.

14: \(4\pi {R^2} = 16\pi  \Rightarrow R = 2\,cm\)

Diện tích của đường tròn lớn nhất của mặt cầu là: \(S = \pi {R^2} = \pi {.2^2} = 4\pi \left( {c{m^2}} \right)\)

Chọn A.

15: Khoảng cách từ O đến \(\Delta \) là: \(d\left( {O,\Delta } \right) = \sqrt {{5^2} – {3^2}}  = 4\,cm\)

Chon D.

19:

Do tứ diện ABCD đều nên tâm mặt cầu tiếp xúc với 6 cạnh cũng trùng với tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện.

Gọi H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD. Suy ra H chính là trọng tâm tam giác BCD.

Khi đó AH chính là trục đường tròn ngoài tiếp tam giác BCD.

Gọi K là trung điểm của AB.

Mặt phẳng trung trực của AB qua K cắt AH tại I chính là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện đều ABCD.

Ta có: \(r = IK\). Mặt khác \(\Delta AKI\)  đồng dạng \(\Delta AHB\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{{AK}}{{AH}} = \dfrac{{AI}}{{AB}} = \dfrac{{IK}}{{HB}}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{AB}}{{2AH}} = \dfrac{{IK}}{{HB}}\end{array}\)

Trong đó: \(AB = a,\,HB = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}\)

\(AH = \sqrt {A{B^2} – H{B^2}}  = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{3}\)

\(\Rightarrow r = IK = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{4}.\)

Chọn B.