Bài ôn tập chương 1 hình học 10: Bài 1 – 13 trang 27,28 hình học lớp 10

Giải bài ôn tập chương 1 hình học 10: Bài 1,2,3,4,5,6 trang 27; bài 8.9,10,11,12,13 trang 28 SGK hình học lớp 10 – Chương 1: véctơ.

Bài 1. Cho lục giác ABCDEF có tâm O. Hãy chỉ ra các véctơ ^→AB có điểm đầu và điểm cuối là O hoặc các đỉnh của lục giác.

Ta có lục giác ABCDEF, tâm O nên các tam giác ΔAOB, ΔBOC, ΔCOD, ΔDOE, ΔEOF, ΔFOA là những tam giác đều và bằng nhau.
Suy ra: AB = FO = OC = ED và AB//FO//OC//ED nên ^→AB = ^→FO = ^→OC = ^→ED

---

Bài 2. Cho hai véctơ ^→a và ^→b đều khác ^→0. Các khẳng định sau đúng hay sai?
a) Hai véctơ ^→a và ^→b cùng hướng thì cùng phương;
b) Hai véctơ ^→b và k^→b cùng phương;
c) Hai véctơ ^→a và (-2)^→a cùng hướng;
d) Hai véctơ ^→a và ^→b ngược hướng với véctơ thứ ba khác ^→0 thì cùng phương.

Đáp án bài 2: a) Ta có ^→a ↑↑ ^→b ⇒ ^→a // ^→b là một khẳng định đúng.
b) Ta có ^→b và k^→b cùng hướng khi k > 0 và ngược hướng khi k < 0
Từ đó khẳng định hai véctơ ^→b và k^→b cùng phương là đúng
c) Khẳng định hai véctơ ^→a và (-2)^→a cùng hướng là sai
d) Ta có ^→a ↑↓ ^→c và ^→b ↑↓ ^→c ⇒ ^→a // ^→c và ^→b // ^→c ⇒ ^→a // ^→b là khẳng định đúng.

---

Bài 3 trang 27. Tứ giác ABCD là hình gì nếu ^→AB = ^→DC và |^→AB|= |^→BC|

Trong tứ giác ABCD có ^→AB = ^→DC ⇒ AB//CD và AB = CD ⇒ tứ giác ABCD là hình bình hành.
Mặt khác |^→AB| = |^→BC| ⇒ AB = BC. Vậy tứ giác ABCD là hình thoi.

---

Bài 4. Chứng minh rằng |^→a + ^→b |≤ |^→a| + |^→b|

• Trường hợp 1: Khi ^→a // ^→b thì ^→a = k^→b(với k ∈ R) và |^→a| =|k||^→b|

|^→a +^→b|= |^→b+k^→b| = |1+k||^→b| ≤ (1+|k|)|^→b| ⇔ |^→a+^→b| ≤ |^→b| +|k||^→b| = |^→b| + |^→a|

• Trường hợp 2: Khi ^→a và ^→b không cùng phương
  Ta đặt ^→OA = ^→a và ^→AB = ^→b thì ba điểm O,A,B không thẳng hàng

Trong tam giác OAB ta có: OB < OA + AB
Mà OB =|^→OB| = |^→OA + ^→AB| =|^→a+^→b| và OA =|^→OA| = |^→a|
AB =|^→AB| =|^→b|. Từ đó |^→a+^→b| < |^→a| + |^→b|
Vậy từ hai trường hợp trên ta có: |^→a + ^→b|≤|^→a| + |^→b|

---

Bài 5 trang 27. Cho tam giác điều ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O. Hãy xác định các điểm M,N,P sao cho
a)^→ OM = ^→OA + ^→OB ;    b) ^→ON = ^→OB + ^→OC;    c) ^→OP = ^→OC +^→OA.

GỌi I,J,K lần lượt trung điểm của các cạnh AB,BC và AC của tam giác đều ABC
Ta có: ^→OA + ^→OB = 2^→OI, ^→OB + ^→OC = 2^→OJ và ^→OC + ^→OA = 2^→OK
Mặt khác: ^→OM =^→OA + ^→OB, ^→ON = ^→OB + ^→OC và ^→OP = ^→OC + ^→OA
Suy ra: ^→OM = 2^→OI = ^→CO nên M đối xứng với C qua tâm O.
^→ON = 2^→OJ = ^→AO nên N đối xứng với A qua tâm O
^→OP = 2^→OK = ^→BO nên P đối xứng với B qua tâm O

---

Bài 6. Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a. Tính
a) |^→AB + ^→AC|;                        b) |^→AB – ^→AC|

Gọi H là trung điểm cạnh BC thì AH là đường cao của tam giác ABC (ΔABC đều) nên AH = a√3 /2
Khi đó: ^→AB + ^→AC = 2 ^→AH ⇒ |^→AB + ^→AC|= 2|^→AH| = a√3
^→AB – ^→AC = ^→CB ⇒ |^→AB – ^→AC| = |^→CB| = a

---

Bài 7 trang 27 ôn tập chương 1 Hình 10. Cho sáu điểm M,N,P,Q,R,S bất kì. Chứng minh rằng ^→MP + ^→NQ + ^→RS = ^→MS + ^→NP + ^→RQ.

Giải: Ta có: ^→MP = ^→MS + ^→SP, ^→NQ = ^→NP + ^→PQ và ^→RS = ^→RQ + ^→QS
Từ đó: ^→MP + ^→NQ + ^→RS = ^→MS + ^→SP + ^→NP + ^→PQ + ^→RQ + ^→QS
^→MP + ^→NQ + ^→RS = ^→MS + ^→NP + ^→RQ + ^→SS = ^→MS + ^→NP + ^→RQ

---

Bài 8. Cho tam giác OAB. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của OA và OB. Tìm các m,n sao cho
a) ^→OM = m^→OA + n^→OB;          b) ^→AN = m^→OA + n^→OB
c) ^→MN = m^→OA + n^→OB;          d) ^→MB = m^→OA + n^→OB.

Ta có: ^→OA, ^→OB là hai véctơ không cùng phương

a) Ta có: ^→OM = 1/2 ^→OA (M là trung điểm của OA)
Từ ^→OM = m^→OA + n^→OB ⇒ m^→OA + n^→OB = 1/2 ^→OA
⇔ (m-1/2)^→OA + n^→OB = ^→0 ⇔ (m-1/2)^→OA + n^→OB =^→ 0

b) Ta có: ^→AN = 1/2 (^→AO + ^→AB) (do N là trung điểm của OB)
^→AB = ^→OB – ^→OA nên ^→AN = –^→OA + 1/2^→OB
Từ ^→AN = m^→OA + n^→OB ⇒ m^→OA + n^→OB = –^→OA +1/2 ^→OB
⇔ (m+1)^→OA = (n-1/2)^→OB = ^→0

c) Ta có ^→MN =1/2 ^→AB (MN là đường trung bình của ΔABC)
và ^→AB = ^→OB – ^→OA nên
^→MN =-1/2 ^→OA + 1/2 ^→OB
Từ ^→MN = m^→OA+ n^→OB ⇒m^→OA + n^→OB = -1/2 ^→OA + 1/2 ^→OB

⇔ (m+1/2)OA + (n-1/2) OB = 0

d) Ta có: ^→BM =1/2(^→BO + ^→BA) (do M là trung điểm của OA)
^→BA = ^→OA – ^→OB nên ^→BM =1/2 ^→OA – ^→OB ⇔ ^→MB =-1/2^→OA + ^→OB
Từ ^→MB = m^→OA + n^→OB ⇒ m^→OA + n^→OB = -1/2^→OA + ^→OB
⇔ (m+1/2)^→OA + (n-1)^→ON =^→0

---

Bài 9 trang 28. Chứng minh rằng nếu G và G’ lần lượt là trọng tâm của tam giác ABC và A’B’C’ thì 3 ^→GG’= ^→AA’ + ^→BB’ + ^→CC’.

Giải: Ta có: G là trọng tâm tam giác ABC nên ^→GA + ^→GB + ^→GC = ^→0
G là trọng tâm tam giác A’B’C’ nên ^→G’A’ + ^→G’B’ + ^→G’C’ = 0
^→AA’ = ^→GA’ – ^→GA =^→GG’ + ^→G’A’ – ^→GA’
^→BB’ = ^→GB’ – ^→GB = ^→GG’ + ^→G’B’ – ^→GB
^→CC’ = ^→GC’ – ^→GC = ^→GG’ + ^→G’C’ – ^→GC

Suy ra: ^→AA’ + ^→BB’ + ^→CC’ = ^→GG’ + ^→G’A’ – ^→GA’ + ^→GG’ + ^→G’B’ – ^→GB +^→GG’ + ^→G’C’ –^→ GC
= 3^→GG’ + ^→G’A’ + ^→G’B’ + ^→G’C’ – (^→GA + ^→GB + ^→GC) = 3^→GG’.

---

Bài 10. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, các khẳng định sau đúng hay sai?

a) Hai véctơ đối nhau thì chúng có hoành độ đối nhau;

b) Véctơ ^→a ≠ ^→0 cùng phương với véctơ ^→i nếu ^→a có hoành độ bằng 0;

c) Véctơ ^→a có hoành độ bằng 0 thì cùng phương với véctơ ^→j.

Đáp án: a) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho vectơ ^→a =(a1;a2) và vectơ đối của véctơ a là véctơ ^→b = –^→a ⇒ ^→b = (-a1; -a2). Vật khẳng định hai véctơ đối nhau thì chúng có hoành độ đối nhau là đúng.

b) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy véctơ ^→i =(1;0); Véctơ ^→a ≠ ^→0 cùng phương với véctơ ^→i khi a = k^→i với k∈R. Suy ra ^→a =(k;0) với k≠0. Vậy khẳng định véctơ ^→a ≠ 0 cùng phương với véctơ ^→i nếu ^→a có hoành độ bằng 0 là sai.

c) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy véctơ ^→j = (0;1); véctơ ^→a cùng phương với véctơ ^→j khi a = k^→j với k∈R. Suy ra ^→a =(0;k) với k∈R. Vậy khẳng định véctơ ^→a có hoành độ bằng 0 thì cùng phương với véctơ ^→j là đúng.

---

Bài 11 trang 28. Cho ^→a = (2;1), ^→b = (3;-4), ^→c= (-7;2)
a) Tìm tọa độ của véctơ ^→u = 3^→a + 2^→b – 4^→c;
b) Tìm tọa đọ véctơ ^→x sao cho ^→x + ^→a = ^→b – ^→c;
c) Tìm các số k và h sao cho ^→c = k^→a + h^→b;

Giải: a) Ta có: 3^→a = (6;3); 2^→b =(6;-8) và -4^→c =(28;-8).
^→u =3^→a + 2^→b -4^→c = (40;-13)

b) Ta có ^→x +^→a = ^→b – ^→c ⇔ –^→a + ^→b – ^→c = (8;-7)

c) Ta có ^→c = k^→a + h^→b = (2k +3h; k-4h) và c = (-7;2)
Suy ra:

---

Bài 12 Ôn tập chương 1 hình. Cho ^→u =1/2^→i – 5^→j, ^→v = m^→i – 4^→j. Tìm m để ^→u và ^→v cùng phương.

Giải bài 12:

Ta có: ^→u = 1/2^→i – 5^→j
⇒ ^→u =(1/2;-5) và ^→y = m^→i – 4^→j ⇒ v =(m;-4)
^→u//^→v ⇔ ^→u = k^→v ⇔

---

Bài 13. Trong các khẳng định sau khẳng định nào đúng?
a) Điểm A nằm trên trục hoành thì có hoành độ bằng 0;
b) P là trung điểm của đoạn thẳng AB khi và chỉ khi có hoành độ của P bằng trung bình cộng của các hoành độ của A và B;
c) Nếu tứ giác ABCD là hình bình hành thì trung bình cộng các tọa độ tương ứng của A và C bằng trung bình cộng của các tọa độ tương ứng của B và D

Đáp án: a) Ta biết một điểm nằm trên trục hoành (Ox) có tọa độ(x;0) với x∈ Do vậy, điểm A nằm trên trục hoành thì có hoành độ bằng 0 là khẳng định sai.

b) Ta biết: Điểm A (x_A; y_A) và B(x_B; y_B); P là trung điểm của đoạn thẳng AB thì tọa độ của P là:

Từ đó P là trung điểm của đoạn thẳng AB khi và chỉ khi hoành độ của P bằng trung bình cộng các hoành độ của A và B là khẳng định Sai.

c) Ta biết: Tứ giác ABCD là hình bình hành khi và chỉ khi hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. Từ đó tứ giác ABCD là hình bình hành thì trung bình cộng các tọa độ tương ứng của A và C bằng trung bình cộng các tọa đọ tương ứng của B và D là khẳng định đúng.