Trang Chủ Lớp 10 Bài tập SGK lớp 10

Giải bài 1,2,3,4,5, 6,7,8,9 trang 17 SGK hình học 10: Tích của véctơ với một số

CHIA SẺ

Tóm tắt kiến thức và Giải bài 1,2,3,4,5, 6,7,8,9 trang 17 SGK hình học 10: Tích của véctơ với một số – Chương 1 hình 10.

A. Tóm tăt kiến thức Tích của véctơ với một số

1. Định nghĩa 

Cho một số k #  0 và vec tơ a  # 0

Tích của một số k với vec tơ a  là một vec tơ , kí hiệu là ka
cùng hướng với a  nếu k > 0, ngược hướng với a   nếu k< 0 và có độ dài bằng |k|. |a |

2. Tính chất : Tích của một số với một vec tơ có tính chất:

a) Phân phối với phép cộng vec tơ: k (a + b ) = k a + kb

b) Phân phối với phép cộng các số: (h+k)a  = ha  +k a

c) Kết hợp:    h(ka ) = (h.k)a .

d) 1. a  =  a      (-1)a = –a

3.Áp dụng

a) Nếu I là trung điểm của đoạn thẳng AB thì với mọi điểm M ta có MA + MB = 2 MI.

b) Nếu G là trọng tâm của tam giác ABC thi mọi điểm M ta có

MA + MB + MC  = 3MG.

4. Điều kiện để hai vec tơ cùng phương

Điều kiện cần và đủ để hai vec tơ cùng phương là có một số k để a  = kb.

5. Phân tích một vec tơ thành haivec tơ không cùng phương

Cho hai vec tơ a  và b không cùng phương. Khi đó một vec tơ x  đều hân tích được một cách duy nhất theo hai vec tơ a , b
nghĩa là có duy nhất một cặp số h, k sao cho x =  ha + kb

B. Hướng dẫn giải bài tập Tích của véctơ với một số trang 17 Hình học lớp 10

Bài 1. Cho hình bình hành ABCD. Chứng minh rằng: AB + AC + AD = 2AC.

Giải: AB + AC + AD = AB + AD + AC

ABCD là hình bình hành nên AB + AD = AC(quy tắc hình bình hành của tổng)

AB + AC + AD= AC + AC=2AC


Bài 2. Cho AK và BM là hai trung tuyến của tam giác ABC. Hãy phân tích các vectơ AB, BC, AC theo hai vectơ sau u = AK, v = BM.


bai 2 trang 17

Vì M là trung điểm của BC nên  BC = 2 BM = 2 v;
Vì K là trung điểm của CA nên  CA = -2 AK = -2 u;
Ta có:  CB = – BC = -2 v
nên  AB =  CB –  CA = -2 v – (-2 u) =2( u- v).


Bài 3. Trên đường thẳng chứa cạnh BC của tam giác ABC lấy một điểm M sao cho MB = 3MC . Hãy phân tích vectơ  AM  theo hai vectơ u  = AB , v  = AC.
bai3 trang 17 hinh 10

Ta có: AM = AB + BM = AB + BC + CM
MB = 3MC nên BM = 3CM

BC = 2CM ⇒ CM =1/2 BC
Từ đó: AM = AB +3/2 BC
Mặt khác BC = AC – AB = v – u
Khi đó: AM = AB + 3/2 BC = u +3/2 (v – u) = 3/2v -1/2 u.


Bài 4. Gọi AM là trung tuyến của tam giác ABC  và D là trung điểm của đạn AM. Chứng minh rằng:

a) 2DA + DB + DC = 0;

b) 2OA +OB+ OC = 4OD, với O là điểm tùy ý.

Giải bài 4:bai-4-trang-17-hinh-10

a) Ta có:
DB + DC = (DM + MB) + (DM + MC) = 2 DM + (MB + MC) = 2 DM + 0 = 2DM (vì MB = –MC).
Mặt khác, do D là trung điểm của đoạn AM nên DM = – DA.
Khi đó: 2DA + DB + DC = 2DA + 2DM =2 (DA +DM) = 0

b) Ta có:
2OA + OB + OC = 4 OD ⇔ 2(OA – OD) + (OB –OD) + (OC – OD) = 0
⇔ 2DA + DB + DC= 0 (luôn đúng theo câu a)
Vậy 2OA +OB+ OC = 4OD, với O là điểm tùy ý.


Bài 5 trang 17 Hình 10. Gọi M và N lần lượt là trung điểm các cạnh AB và CD của tứ giác ABCD. Chứng minh rằng:   2MN= AC + BD = BC + AD.

bai-5-trang-17-toan-hinh-hoc-10Ta có: AC = AM + MN + NCBD = BM + MN + ND
AC +BD = 2MN + (AM + BM) + (NC +ND)
=2MN + 0 + 0 = 2MN
(Vì BM = – AM; ND = -NC)
Tương tự, từ: BC = BM + MN + NC
AD = AM + MN + ND
Ta suy ra: BC + AD = 2 MN. Vậy 2 MN = AC + BD = BC + AD.


Bài 6. Cho hai điểm phân biệt A và B. Tìm điểm K sao cho  3KA + 2 KB = 0

Giải: Ta có:  KA + 2 KB = 0  ⇒ 3KA = -2 KB ⇒KA = – 2/3 KB
Đẳng thức này chứng tỏ hai vec tơ  KA ,KB là hai vec tơ ngược hướng, do đó K thuộc đoạn AB

Ta lại có: |KA| = – 2/3|KB| ⇒ KA = 2/3 KB

Vậy K là điểm chia trong đoạn thẳng AB theo tỉ số 2/3.


Bài 7 trang 17. Cho tam giác ABC. Tìm điểm m sao cho MA + MB +2 MC = 0

Giải: Gọi I là trung điểm của AB; J là trung điểm của CI
Ta có, theo quy tắc hình bình hành:  MA + MB = 2 MI. Khi đó: MA + MB + 2MC = 0 ⇔2 MI + 2 MC = 0 ⇔2(MI + MC) = 0;
Cũng theo quy tắc hình bình hàng: MI + MC = 2MJ
Do đó 2(MI + MC) = 0 ⇔ 4MJ = 0 ⇔ MJ = 0 ⇔ M=J
Vậy M là trung điểm của CI.


Bài 8. Cho lục giác ABCDEF. Gọi M, N, P, Q, R, S lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DE, EF, FA. Chứng minh rằng hai tam giác MPR và NQS có cùng trọng tâm.


bai-8-trang-17-hinh-hoc-lop-10

Ta có: MN =1/2 AC
PQ =1/2 CE
RS=1/2 EA

MN + PQ + RS = 1/2(AC + CE + EA) = 1/2 AA = 0
MN + PQ + RS = 0 (1)
Gọi G là trọng tâm tam giác MPR, ta có:
GM + GP + GR = 0 (2)
Mặt khác MN = MG + GN
PQ = PG + GQ
RS = RG + GS
MN + PQ + RS = (MG + PG + RG) + GN + GQ + GS (3)
Từ (1),(2),(3) suy ra: GN + GQ + GS = 0
Vậy G là trọng tâm của tam giác NQS.


Bài 9 trang 17 Toán Hình 10. Cho tam giác đều ABC có trọng tâm O và M là một điểm tùy ý trong tam giác. Gọi D,E,F lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ M đến BC, AC, AB. Chứng minh rằng:MD + ME + MF = 3/2MO.
bai 9 trang 17 hinh 10

Từ M kẻ SP//BC; HR//CA và KQ//AB. Ta có:

+ ΔMKH đều: MD là đường trung tuyến ⇒ 2MD = MK + MH
+ ΔMPQ đều: ME là đường trung tuyến ⇒ 2ME = MP + MQ
+ ΔMRS đều: MF là đường trung tuyến ⇒ 2MF = MR + MS

⇒ 2(MD + ME + MF) = MH + MK + MP + MQ + MR + MS
=(MQ + MR) + (MS + MK) + (MH + MP) = MA + MB + MC
(Vì các tứ giác MHCP, MQAR, MSBK là các hình bình hành)
Vì O là trọng tâm của ΔABC nên MA + MB + MC = 3 MO
Từ đó: 2(MD + ME + MF ) = 3 MO

MD + ME + MF = 3/2 MO (đpcm)