Bài 1. Chứng minh rằng: \({\left( {x – y} \right)^2} – {\left( {x + y} \right)^2} = – 4xy.\)
Bài 2. Chứng minh rằng \({\left( {7n – 2} \right)^2} – {\left( {2n – 7} \right)^2}\) luôn chia hết cho 9, với mọi giá trị nguyên của n.
Bài 3. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: \(P = – {x^2} + 6x + 1.\)
Bài 4. Chứng minh rằng nếu \(\left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {{x^2} + {y^2}} \right) = {\left( {ax + by} \right)^2}\)thì \(ay – bx = 0.\)
Bài 1. Ta có:
\({\left( {x – y} \right)^2} – {\left( {x + y} \right)^2} \)
\(= \left( {{x^2} – 2xy + {y^2}} \right) – \left( {{x^2} + 2xy + {y^2}} \right)\)
\(={x^2} – 2xy + {y^2} – {x^2} – 2xy – {y^2} \)
Advertisements (Quảng cáo)
\(= – 4xy\) (đpcm).
Bài 2. Ta có:
\({\left( {7n – 2} \right)^2} – {\left( {2n – 7} \right)^2} \)
\(= \left( {49{n^2} – 28n + 4} \right) – \left( {4{n^2} – 28n + 49} \right)\)
\( = 49{n^2} – 28n + 4 – 4{n^2} + 28n – 49 \)
Advertisements (Quảng cáo)
\(= 45{n^2} – 45.\)
Vì \(45\; \vdots\; 9 \Rightarrow 45{n^2} \;\vdots \;9.\) Vậy \(45{n^2} – 45\) chia hết cho 9 (với mọi n thuộc \(\mathbb Z\))
).
Nhận xét: Số đã cho còn chia hết cho 45, với mọi n thuộc \(\mathbb Z\).
Bài 3. Ta có:
\(P = – {x^2} + 6x – 9 + 9 + 1 \)
\(\;\;\;\;= 10 – {\left( {x – 3} \right)^2} \le 10,\) vì \({\left( {x – 3} \right)^2} \ge 0\) , với mọi x.
Vậy giá trị lớn nhất của bằng 10.
Dấu = xảy ra khi \(x – 3 = 0\) hay \(x = 3.\)
Bài 4. Ta có :
\(\left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {{x^2} + {y^2}} \right)\)\(\; = {\left( {ax + by} \right)^2}\)
Hay \({a^2}{x^2} + {a^2}{y^2} + {b^2}{x^2} + {b^2}{y^2} \)\(\;= {a^2}{x^2} + 2axby + {b^2}{y^2}\)
Hay \({a^2}{y^2} – 2axby + {b^2}{x^2} = 0\)
Hay \({\left( {ay – bx} \right)^2} = 0.\) Vậy : \(ay – bx = 0\) (đpcm).
