Trên dây cung AB của một đường tròn (O), có hai điểm C và D chia dây này ba đoạn bằng nhau: \(AC = CD = DB.\) Các bán kính qua C và D cắt cung nhỏ AB lần lượt tại E và F. Chứng minh rằng các điểm E và F chia cung nhỏ AB thành ba cung : \(\overparen{AE}, \overparen{ EF}, \overparen{FB}\) thỏa mãn điều kiện: \(\overparen{AE} = \overparen{FB}<\overparen{EF}\)
\(∆AOB\) cân (\(OA = OB\))
\( \Rightarrow \widehat {OAB} = \widehat {OBA}\)
\( AO = BO\) (gt)
\( AC = DB\) (gt)
Advertisements (Quảng cáo)
Vậy \(∆AOC = ∆BOD\) (c.g.c)
\( \Rightarrow \widehat {AOC} = \widehat {BOD}\) và \(OC = OD\)
\( \Rightarrow \overparen{AE} = \overparen{BF}\)
Vì D nằm trong đường tròn \( \Rightarrow OA > OD\)
Advertisements (Quảng cáo)
Từ C vẽ CC’ // OD. Khi đó CC’ là đường trung bình của ∆AOD
\( \Rightarrow CC’ = \dfrac{{OD} }{ 2}\) và \(C’O = \dfrac{{AO}}{2}\)
\(\widehat {C’CO} = \widehat {COD}\) (so le trong)
Ta có: \(CC’ < C’O \Rightarrow \widehat {AOC} < \widehat {C’CO}\) hay
\(\widehat {AOC} < \widehat {COD}\)
\( \Rightarrow \overparen{AE}<\overparen{EF}\)
