Chia sẻ đề kiểm tra Toán lớp 9 15 phút Chương 2 Đại số: Chứng minh rằng hàm số nghịch biến trên R

Cho hàm số : \(y = f\left( x \right) = \left( {1 – \sqrt 3 } \right)x\)

a. Tính : \(f\left( {1 + \sqrt 3 } \right);f\left( {1 – \sqrt 3 } \right);f\left( { – \sqrt 3 } \right)\)

b. Chứng minh rằng hàm số nghịch biến trên \(\mathbb R\).

c. So sánh : \(f\left( {1 + \sqrt 3 } \right)\,và\,f\left( {2 + \sqrt 3 } \right)\)

a. Ta có:

\(\eqalign{  & f\left( {1 + \sqrt 3 } \right) = \left( {1 – \sqrt 3 } \right)\left( {1 + \sqrt 3 } \right) \cr&\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;= 1 – 3 =  – 2;  \cr  & f\left( {1 – \sqrt 3 } \right) = {\left( {1 – \sqrt 3 } \right)^2} \cr&\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;= 1 – 2\sqrt 3  + 3 \cr&\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;= 4 – 2\sqrt 3   \cr  & f\left( { – \sqrt 3 } \right) = \left( {1 – \sqrt 3 } \right)\left( { – \sqrt 3 } \right) \cr&\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,=  – \sqrt 3  + 3 \cr} \)

b. Với \({x_1},\,{x_2}\) bất kì thuộc \(\mathbb R\) và \({x_1}<{x_2}\).

Ta có:

\(\eqalign{  & f\left( {{x_1}} \right) = \left( {1 – \sqrt 3 } \right){x_1}  \cr  & f\left( {{x_2}} \right) = \left( {1 – \sqrt 3 } \right){x_2}   \cr} \)

\( \Rightarrow f\left( {{x_1}} \right) – f\left( {{x_2}} \right) = \left( {1 – \sqrt 3 } \right){x_1} \)\(\,- \left( {1 – \sqrt 3 } \right){x_2} = \left( {1 – \sqrt 3 } \right)\left( {{x_1} – {x_2}} \right) \)

Vì \({x_1}<{x_2}\)

\(\eqalign{  &  \Rightarrow {x_1} – {x_2} < 0;1 – \sqrt 3  < 0  \cr  &  \Rightarrow \left( {1 – \sqrt 3 } \right)\left( {{x_1} – {x_2}} \right) > 0\cr& \Rightarrow f\left( {{x_1}} \right) > f\left( {{x_2}} \right) \cr} \)

Vậy hàm số nghịch biến trên \(\mathbb R\).

c. Ta có: \({x_1} = 1 + \sqrt 3 ;{x_2} = 2 + \sqrt 3 \) và \({x_1} < {x_2} \Rightarrow f\left( {{x_1}} \right) > f\left( {{x_2}} \right)\)

hay \(f\left( {1 + \sqrt 3 } \right) > f\left( {2 + \sqrt 3 } \right)\) (vì hàm số đã cho nghịch biến)