Bài 1. Rút gọn : \(A = \left( {{{1 – a\sqrt a } \over {1 – \sqrt a }} + \sqrt a } \right).{\left( {{{1 – \sqrt a } \over {1 – a}}} \right)^2}\)\(\,\,\,\left( {a \ge 0;\,a \ne 1} \right)\)
Bài 2. Chứng minh rằng : \(x = {{\left( {5\sqrt 3 + \sqrt {50} } \right)\left( {5 – \sqrt {24} } \right)} \over {\sqrt {75} – 5\sqrt 2 }}\) có giá trị là số nguyên.
Bài 3. Tìm x, biết : \(\left( {\sqrt x + {1 \over {\sqrt x + 1}}} \right).\left( {1 – {{\sqrt x + 2} \over {x + \sqrt x + 1}}} \right) > 0\,\left( * \right)\)
Bài 1. Ta có:
Advertisements (Quảng cáo)
\(\eqalign{ & A = \left( {{{{1^3} – {{\left( {\sqrt a } \right)}^3}} \over {1 – \sqrt a }} + \sqrt a } \right).{\left( {{{1 – \sqrt a } \over {1 – a}}} \right)^2} \cr & = \left( {{{\left( {1 – \sqrt a } \right)\left( {1 + \sqrt a + a} \right)} \over {1 – \sqrt a }} + \sqrt a } \right).{\left( {{{1 – \sqrt a } \over {1 – a}}} \right)^2} \cr & = \left( {1 + 2\sqrt a + a} \right).{{{{\left( {1 – \sqrt a } \right)}^2}} \over {{{\left( {1 – \sqrt a } \right)}^2}{{\left( {1 + \sqrt a } \right)}^2}}} = 1 \cr} \)
Bài 2. Ta có: \({{5\sqrt 3 + \sqrt {50} } \over {\sqrt {75} – 5\sqrt 2 }} = {{\sqrt {75} + \sqrt {50} } \over {\sqrt {75} – \sqrt {50} }} = {{125 + 50\sqrt 6 } \over {25}} = 5 + 2\sqrt 6 \)
Vậy \(x = \left( {5 + 2\sqrt 6 } \right)\left( {5 – \sqrt {24} } \right) \)\(\,= \left( {5 + \sqrt {24} } \right)\left( {5 – \sqrt {24} } \right) \)\(\,= 25 – 24 = 1\)
Vậy \(x = 1\) là số nguyên.
Advertisements (Quảng cáo)
Bài 3. Điều kiện: \(x ≥ 0\).
Ta có:
\(\eqalign{ & \left( * \right) \Leftrightarrow {{\sqrt x \left( {\sqrt x + 1} \right) + 1} \over {\sqrt x + 1}}.{{x + \sqrt x + 1 – \sqrt x – 2} \over {x + \sqrt x + 1}} > 0 \cr & \Leftrightarrow {{x + \sqrt x + 1} \over {\sqrt x + 1}}.{{x – 1} \over {x + \sqrt x + 1}} > 0 \cr & \Leftrightarrow \sqrt x – 1 > 0 \cr & \Leftrightarrow \sqrt x > 1 \cr} \)
\(\;\;⇔ x > 1\) (thỏa mãn điều kiện \(x ≥ 0\))
Vậy \(x > 1\).
