Cho ∆ABC đều có cạnh bằng a, các đường cao BD và CE cắt nhau tại H.
a. Chứng minh rằng bốn điểm B, E, D, C thuộc cùng một đường tròn. Hãy xác định tâm bán kính của đường tròn đó.
b. Chứng minh rằng điểm H nằm trong đường tròn và điểm A nằm ngoài đường tròn đi qua bốn điểm B, E, D, C.
a. Gọi O là trung điểm của BC, các tam giác vuông BDC và BEC có OD, OE là các đường trung tuyến thuộc cạnh huyền BC nên
Advertisements (Quảng cáo)
\(\eqalign{ & OD = OE = {1 \over 2}BC \cr & hay\,OD = OE = OB = OC = {1 \over 2}a \cr} \)
Vậy bốn điểm B, E, D, C thuộc cùng một đường tròn, tâm O là trung điểm của BC và bán kính bằng \({1 \over 2}BC = {1 \over 2}a\)
b. ∆ABC đều nên trực tâm H cũng đồng thời là trọng tâm, AO là trung tuyến nên đồng thời là đường cao và A, H, O thẳng hàng.
Xét tam giác vuông AOB, ta có:
Advertisements (Quảng cáo)
\(AO = \sqrt {A{B^2} – O{B^2}} \) (định lí Pi-ta-go )
\( = \sqrt {{a^2} – {{\left( {{a \over 2}} \right)}^2}} = \sqrt {{{3{a^2}} \over 4}} = {{a\sqrt 3 } \over 2}\)
Mặt khác, vì H là trọng tâm của ∆ABC nên:
\(OH = {1 \over 3}AO = {1 \over 3}.{{a\sqrt 3 } \over 2} = {{a\sqrt 3 } \over 6}\)
Nhận thấy: \({{a\sqrt 3 } \over 6} < {a \over 2},\) do đó điểm H nằm trong đường tròn \(\left( {O,{a \over 2}} \right);\)
\({{a\sqrt 3 } \over 2} > {a \over 2},\) do đó điểm A nằm ngoài đường tròn \(\left( {O;{a \over 2}} \right).\)
