Bài 21,22,23, 24,25 trang 111, 112 SGK Toán lớp 9 tập 1:Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đường tròn

Hướng dẫn chi tiết giải bài 21, 22, 23, 24 trang 111; Bài 25 trang 112 SGK Toán 9 tập 1:Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đường tròn – Chương 2 hình học 9.

Bài 21. Cho tam giác ABC có AB=3, AC=4, BC=5. Vẽ đường tròn (B;BA). Chứng minh rằng AC là tiếp tuyến của đường tròn.

Ta có AB² =9; AC²=  16; BC² =25.

Suy ra BC²= AB² + AC²

⇒ Tam giác ABC vuông tại A (theo định lý Py-ta-go đảo)

⇒ AC ⊥ BA

Vậy AC là tiếp tuyến tại A của đường tròn (B; BA).

---

Bài 22. Cho đường thẳng d, điểm A nằm trên đường thẳng d, điểm B nằm ngoài đường thẳng d. Hãy dựng đường tròn (O) đi qua điểm B và tiếp xúc với đường thẳng d tại A.

Phân tích:

Giả sử đã dựng được đường tròn thỏa mãn đề bài.

Tâm O thỏa mãn hai điều kện:

– O nằm trên đường trung trực của AB (vì đường tròn đi qua A và B).

– O nằm trên đường thẳng vuông góc với d tại A (vì đường tròn tiếp xúc với đường thẳng d tại A).

Vậy O là giao điểm của hai đường thẳng nói trên.

Cách dựng:

– Dựng đường trung trực m của AB.

– Từ A dựng một đường thẳng vuông góc với d cắt đường thẳng m tại O.

– Dựng đường tròn (O;OA). Đó là đường tròn phải dựng.

Chứng minh:

Vì O nằm trên đường trung trực của AB nên OA=OB, do đó đường tròn (O;OA) đi qua A và B.

Đường thẳng d ⊥ OA tại A nên đường thẳng d tiếp xúc với đường tròn (O) tại A.

Biện luận: Bài toán luôn có nghiệm hình.

---

Bài 23.

Dây cua-roa trên hình 76 có những phần là tiếp tuyến của các đường tròn tâm A, B, C. Chiều quay của đường tròn tâm B ngược chiều quay của kim đồng hồ. Tìm chiều quay của đường tròn tâm A và đường tròn tâm C (cùng chiều quay hay ngược chiều quay của kim đồng hồ).

Lời giải.

Chiều quay đường tròn tâm A và tâm C cùng chiều kim đồng hồ.

Đường tròn (B) quay ngược chiều với hai đường tròn (A) và (C).

---

Phần Luyện tập:

Bài 24 trang 111 Toán 9 tập 1. Cho đường tròn (O), dây AB khác đường kính. Qua O kẻ đường vuông góc với AB, cắt tiếp tuyến tại A của đường tròn ở điểm C.

a) Chứng minh rằng CB là tiếp tuyến của đường tòn.

b) Cho bán kính của đường tròn bằng 15cm, AB=24cm. Tính độ dài OC.

Giải

a) Gọi H là giao điểm của OC và AB.

Vì OH ⊥ AB nên HA=HB, suy ra OC là đường trung trực của AB, do đó CB=CA.

Δ CBO = Δ CAO (c.c.c)

⇒ ∠CBO = ∠CAO.

Vì AC là tiếptuyến của đường trong (O) nên AC ⊥ OA ⇒ ∠CAO = 90⁰.

Do đó ∠CBO= 90⁰.

Vậy CB là tiếptuyến của đường tròn (O).

b) Xét tam giác HOA vuông tại H, có

OH²= OA² – AH² = 15² – 12² = 81 ⇒ OH = 9(cm),

Xét tam giác BOC vuông tại B, có

OB² = OC.OH ⇒ OC = OB²/OH = 225/9 = 25(cm)

Nhận xét. Ở câu a) ta đã dùng dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến để chứng minh CB là tiếp tuyến đường tròn (O). Ta cũng có thể dựa vào tính chất đối xứng của đường kính để chứng minh CB là tiếp tuyến. Thực vậy B và A đối xứng qua đường thẳng chứa đường kính CO, mà CA là tiếp tuyến nên CB phải là tiếp tuyến.

---

Bài 25 trang 112 Cho đường tròn tâm O có bán kính OA=R, dây BC vuông góc với OA tại trung điểm M của OA.

a) Từ giác OCAB là hình gì? Vì sao?

b) Kẻ tiếp tuyến với đường tròn tại B, nó cắt đường thẳng OA tại E. Tính độ dài BE theo R.

Đáp án: a) Ta có bán kính OA vuông góc với dây BC tại M nên MB = MC,
Xét tứ giác OCAB ta có
MO = MA(gt); MB = MC (cmt)
Vậy tứ giá OCAB là hình bình hành. Hơn nữa, hình bình hành OCAB có OA ⊥ BC nên tứ giác OCAB là hình thoi (Hình bình hành này có hai đường chéo vuông góc nên là hình thoi)

b) Vì tứ giác OCAB là hình thoi nên OB = BA; mà BO=OA (bán kính) nên tam giác ABO là tam giác đều.

Vậy  ΔOAB là tam giác đều. Suy ra ∠AOB = 60⁰

– Trong ΔOBE vuông tại E ta có:

BE = OB.tg∠AOB

hay BE = OB.tg60⁰ = R√3

Vậy BE = R√3