Kiểm tra học kì 2 – Toán 8: Giá trị  x = -3 là một  nghiệm của bất phương trình nào sau đây? 

Phần I- Trắc nghiệm (2đ):

Từ câu 1 đến câu 8: hãy chọn đáp án đúng và viết vào bài làm.

1.: Phương trình bậc nhất một ẩn  \(ax + b = 0\) ( a ≠ 0) có nghiệm duy nhất là

A. \(x = \dfrac{a}{b}\)

B. \(x = \dfrac{{ – b}}{a}\)

C. \(x = \dfrac{{ – a}}{b}\)

D. \(x = \dfrac{{ – b}}{{ – a}}\)

2.: Điều kiện xác định của phương trình \(\dfrac{{x + 2}}{x} – \dfrac{x}{{x + 1}} = \dfrac{5}{{x\left( {x + 1} \right)}}\) là

A.  \(x \ne 0\)

B.  \(x \ne 0\) và \(x \ne  – 2\)

C.  \(x \ne 0\) và \(x \ne  – 1\)

D.  \(x \ne  – 1\) và \(x \ne  – 2\)

3.: Giá trị  x = -3 là một  nghiệm của bất phương trình nào sau đây ?

A. \(1 – 2{\rm{x < 2x – 1}}\)

B.  \(x + 7 > 10 + 2{\rm{x}}\)

C. \({\rm{x – 3 > 0}}\)

D.  \(x + 3 \ge 0\)

4.: Trong \(\Delta ABC\) có MN//BC \(\left( {M \in AB;\,N \in AC} \right)\), ta có tỉ số

A.\(\dfrac{{MA}}{{MC}} = \dfrac{{{\rm{NB}}}}{{{\rm{NA}}}}\)

B. \(\dfrac{{MA}}{{NC}} = \dfrac{{{\rm{MB}}}}{{{\rm{NA}}}}\)

C.\(\dfrac{{MA}}{{MB}} = \dfrac{{{\rm{NA}}}}{{{\rm{NC}}}}\)

D.\(\dfrac{{MA}}{{MB}} = \dfrac{{{\rm{NB}}}}{{{\rm{NC}}}}\)

5.: Tập nghiệm của phương trình \(\left( {{x^2} – 4} \right)\left( {{x^2} + 1} \right) = 0\) là

A. \({\rm{S = }}\left\{ {{\rm{ – 2;}}\,{\rm{2}}} \right\}\)

B. \({\rm{S = }}\left\{ {{\rm{ – 1;}}\,{\rm{2}}} \right\}\)

C. \({\rm{S = }}\left\{ {{\rm{ – 1; – }}\,{\rm{2;}}\,{\rm{2}}} \right\}\)

D. \({\rm{S = }}\left\{ {{\rm{ – 1;}}\,{\rm{1;}}\,{\rm{ – 2;}}\,{\rm{2}}} \right\}\)

6.: Cho \(\Delta ABC\) có đường phân giác trong AD, ta có tỉ số

A.  \(\dfrac{{AB}}{{B{\rm{D}}}} = \dfrac{{{\rm{DC}}}}{{{\rm{AC}}}}\)

B.   \(\dfrac{{DB}}{{DC}} = \dfrac{{{\rm{AB}}}}{{{\rm{AC}}}}\)

C.   \(\dfrac{{DC}}{{B{\rm{D}}}} = \dfrac{{{\rm{AB}}}}{{{\rm{AC}}}}\)

D.   \(\dfrac{{AB}}{{AC}} = \dfrac{{{\rm{DC}}}}{{{\rm{DB}}}}\)

7.: \(\Delta ABC\) đồng dạng với \(\Delta D{\rm{EF}}\) theo tỉ số đồng dạng \(k = \dfrac{3}{2}\). Diện tích của \(\Delta ABC\) là \(27c{m^2}\), thì diện tích của \(\Delta D{\rm{EF}}\) là

A. \(12c{m^2}\)

B. \(24c{m^2}\)

C. \(36c{m^2}\)

D. \(48c{m^2}\)

8.: Một hình lập phương có diện tích toàn phần là \(216c{m^2}\), thể tích của khối lập phương đó là

A. \({\rm{ 72c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}\)

B.   \({\rm{ 36c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}\)

C.  \({\rm{ 1296c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}\)

D.   \({\rm{ 216c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}\)

Phần II- Tự luận (8đ):

9. (2đ):   Giải các phương trình sau:

\(a)\,\,\,\,\,\,\,4x – 3\left( {x – 2} \right) = 7 – x\)

\(b)\,\,\,\,\,\,\,\dfrac{x}{{x – 2}} – \dfrac{{x – 1}}{{x + 2}} = \dfrac{3}{{{x^2} – 4}}\).

1.0 (1,5đ): Một ôtô xuất phát từ A lúc 5h và dự định đi đến B lúc 12h cùng ngày. Ôtô đi hai phần ba đoạn đường đầu với vận tốc trung bình 40 km/h. Để đến B đúng dự định ôtô phải tăng vận tốc thêm 10 km/h trên đoạn đường còn lại. Tính độ dài quãng đường AB?

1.1 (3đ):  Cho hình thang ABCD vuông tại A và D có đường chéo DB vuông góc với cạnh bên BC tại B, biết AD = 3 cm, AB = 4 cm.

a) Chứng minh Δ ABD đồng dạng với Δ BDC.

b) Tính độ dài DC.

c) Gọi E là giao điểm của AC với BD. Tính diện tích \(\Delta A{\rm{ED}}\).

1.2 (1,5đ):

a) Giải phương trình \(\left| { – 7{\rm{x + 1}}} \right| – 16 =  – 8{\rm{x}}\)

b) Cho các số dương x, y thỏa mãn \(x + y =1.\) Tìm giá trị nhỏ nhất của  \({\rm{P  =  }}{\left( {{\rm{2x}} + \dfrac{{\rm{1}}}{{\rm{x}}}} \right)^2} + {\left( {2y + \dfrac{1}{y}} \right)^2}\).

Phần I- Phần trắc nghiệm (2đ): chọn đúng mỗi đáp án được 0,25 điểm.

 Phần II- Phần tự luận (8đ):

9. (2đ):

a) \(\,4x – 3\left( {x – 2} \right) = 7 – x\)

\(\, \Leftrightarrow x + 6 = 7 – x \Leftrightarrow \,2{\rm{x}} = 1\)

\(\, \Leftrightarrow {\rm{x}} = \dfrac{1}{2}\)

KL : tập nghiệm \(S = \left\{ {\dfrac{1}{2}} \right\}\)

b) \(\,\dfrac{x}{{x – 2}} – \dfrac{{x – 1}}{{x + 2}} = \dfrac{3}{{{x^2} – 4}}\)

ĐKXĐ:

\({\rm{x}} \ne  \pm {\rm{2}}\)

\( \Leftrightarrow \,\dfrac{x}{{x – 2}} – \dfrac{{x – 1}}{{x + 2}} = \dfrac{3}{{\left( {x – 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}\)

\( \Leftrightarrow \,x\left( {x + 2} \right) – \left( {x – 1} \right)\left( {x – 2} \right) = 3\)

\( \Leftrightarrow \,5{\rm{x}} – 2 = 3 \)

\(\Leftrightarrow 5{\rm{x}} = 5 \Leftrightarrow x = 1\,\,(t/m)\)

KL : tập nghiệm \(S = \left\{ 1 \right\}\)

1.0 (1,5đ):

 Thời gian dự định đi hết quãng đường AB là 12 – 5 = 7  (h)

Gọi độ dài quãng đường AB là x (km), (đk: x > 0)

Ôtô đi hai phần ba đoạn đường đầu với vận tốc trung bình 40 km/h \( \Rightarrow \) thời gian hết \(\dfrac{{\dfrac{2}{3}x}}{{40}} = \dfrac{x}{{60}}\,\,(h)\)

Ôtô đi một phần ba đoạn còn lại với vận tốc 40 + 10 = 50 (km/h)

\( \Rightarrow \) thời gian hết \(\dfrac{{\dfrac{1}{3}x}}{{50}} = \dfrac{x}{{150}}\,\,(h)\)

Vì Ôtô vẫn đến B đúng thời gian đã định nên ta có phương trình \(\dfrac{x}{{60}} + \dfrac{x}{{150}} = 7\)

\( \Leftrightarrow 5{\rm{x + 2x = 2100}} \)

\(\Leftrightarrow {\rm{7x = 2100}} \Leftrightarrow {\rm{x = 300}}\) (t/m)

KL: Độ dài quãng đường AB là 300 (km)

1.1:

a) Chứng minh được \(\widehat {AB{\rm{D}}} = \widehat {B{\rm{DC}}}\)

Suy ra Δ ABD đồng dạng Δ BDC (g.g)

b) Δ ABD (\(\widehat {DAB} = {90^0}\)): \(B{\rm{D = }}\sqrt {{\rm{A}}{{\rm{B}}^{\rm{2}}} + A{{\rm{D}}^{\rm{2}}}}  \)\(\,= \sqrt {{4^2} + {3^2}}  = 5\,\,\,(cm)\)

Δ ABD đồng dạng Δ BDC (g.g) \( \Rightarrow \dfrac{{B{\rm{D}}}}{{{\rm{DC}}}} = \dfrac{{AB}}{{B{\rm{D}}}}\)

\(\Rightarrow DC = \dfrac{{B{{\rm{D}}^{\rm{2}}}}}{{AB}} = \dfrac{{{5^2}}}{4} = \dfrac{{25}}{4}\) (cm)

c) Chứng minh được ΔCED đồng dạng  ΔAEB (g.g) \( \Rightarrow \dfrac{{DE}}{{BE}} = \dfrac{{DC}}{{AB}} = \dfrac{{25}}{{16}}\)

Tính được \({S_{AB{\rm{D}}}} = \dfrac{1}{2}AB.A{\rm{D}} = 6\,\,(c{m^2})\)

Lập được tỉ số \(\dfrac{{{S_{A{\rm{DE}}}}}}{{{{\rm{S}}_{{\rm{ABE}}}}}} = \dfrac{{DE}}{{BE}} = \dfrac{{25}}{{16}} \)

\(\Rightarrow \dfrac{{{S_{A{\rm{DE}}}}}}{{{S_{A{\rm{DE}}}}{\rm{ +  }}{{\rm{S}}_{{\rm{ABE}}}}}} = \dfrac{{25}}{{25 + 16}}\)

\(\Rightarrow \dfrac{{{S_{A{\rm{DE}}}}}}{{{{\rm{S}}_{{\rm{ABD}}}}}} = \dfrac{{25}}{{41}}\)

Suy ra \({{\rm{S}}_{{\rm{ADE}}}} = \dfrac{{25}}{{41}}{S_{AB{\rm{D}}}} = \dfrac{{150}}{{41}}\,\,(c{m^2})\)

 1.2 (1,5đ):

a) \(\left| { – 7{\rm{x + 1}}} \right| – 16 =  – 8{\rm{x}} \)

\(\Leftrightarrow \left| {{\rm{ – 7x + 1}}} \right| =  – 8{\rm{x + 16}}\)  (1)

ĐK: \( – 8{\rm{x + 16}} \ge {\rm{0}} \Rightarrow {\rm{x}} \le {\rm{2}}\)

\((1) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} – 7{\rm{x + 1 =   – 8x + 16}}\\{\rm{ – 7x + 1 = 8x – 16}}\end{array} \right.\)

 \(\, \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{\rm{x = 15}}\,\,\,{\rm{(l)}}\\{\rm{x = }}\dfrac{{{\rm{17}}}}{{{\rm{15}}}}\,\,(t/m)\,\end{array} \right.{\rm{ }}\)

KL : tập nghiệm \(S = \left\{ {\dfrac{{17}}{{15}}} \right\}\)

b) \({\rm{P  =  }}{\left( {{\rm{2x}} + \dfrac{{\rm{1}}}{{\rm{x}}}} \right)^2} + {\left( {2y + \dfrac{1}{y}} \right)^2} \)\(\,= 4\left( {{x^2} + {y^2}} \right) + \left( {\dfrac{1}{{{x^2}}} + \dfrac{1}{{{y^2}}}} \right) + 8\)

 Chứng minh được:

\(*)\,\,\,2({x^2} + {y^2}) \ge {(x + y)^2}\)

\(\Rightarrow 4({x^2} + {y^2}) \ge 2{(x + y)^2}\)

\(\Rightarrow 4({x^2} + {y^2}) \ge 2\)

\(*)\,\,\,\dfrac{1}{{{x^2}}} + \dfrac{1}{{{y^2}}} \ge \dfrac{2}{{xy}} \ge \dfrac{8}{{{{(x + y)}^2}}} \)

\(\Rightarrow \dfrac{1}{{{x^2}}} + \dfrac{1}{{{y^2}}} \ge 8\)

Suy ra được \(\min P = 18,{\rm{khi \,x = y = }}\dfrac{{\rm{1}}}{{\rm{2}}}\)