Bài 1 (2,5đ).
Tính:
a) \(A = \left( { – 1436} \right) – \left( { – 1586 + \left| { – 532} \right|} \right)\)\( – \left( {568 + 468} \right) + 1434\)
b) \(B = \dfrac{{{{18}^6}{{.2}^{12}}{{.4}^3}{{.9}^3}}}{{{{16}^3}{{.6}^9}{{.27}^3}}}\)
Bài 2 (2đ).
a) Tìm số nguyên \(x\) sao cho: \({\left| { – 2} \right|^{10}} – (x + 24)\) \( = 80 – \left[ {( – 4){{.5}^2} + {2^4}.5} \right]\)
b) Tìm các cặp số nguyên \(\left( {x;y} \right)\) sao cho: \(\left| {x – 4} \right| + \left| {y + 5} \right| = 1\)
Bài 3 (2,0đ).
Số học sinh khối THCS của trường THPT Chuyên Hà Nội – Amsterdam tham gia thi độ nghi thức trong khoảng từ \(800\) đến \(1000\) em, được xếp thành các hàng. Nếu xếp mỗi hàng\(20\) thì dư \(9\) em; nếuxếp mỗi hàng \(30\) thì thiếu \(21\) em; nếuxếp mỗi hàng \(35\) thì thiếu \(26\) em. Hỏi có tất cả bao nhiêu em dự thi nghi thức đội?
Bài 4 (2,5đ).
Cho đoạn thẳng AB có độ dài \(9cm\), điểm C thuộc đoạn thẳng AB sao cho \(AC = 3cm\). Điểm D nằm giữa hai điểm B và C sao cho \(CD = \dfrac{1}{3}DB\).
a) Tính độ dài của các đoạn thẳng CB, CD và AD.
b) Chứng minh điểm D là trung điểm của AB.
Bài 5 (1đ).
a) Tìm số tự nhiên \(a\) nhỏ nhất sao cho khi \(a\) chia cho \(5\); cho \(7\); cho \(9\) có số dư theo thứ tự là \(4\,;\,\,2\,;\,\,7.\)
b) (Dành riêng cho lớp 6A) Tính: \(A = {1.2^2} + {2.3^2} + {3.4^2} + \cdot \cdot \cdot + {2017.2018^2}\)
Bài 1.
\(\begin{array}{l}a)\,\,A = \left( { – 1436} \right) – \left( { – 1586 + \left| { – 532} \right|} \right) – \left( {568 + 468} \right) + 1434\,\,\,\,\,\,\,\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = ( – 1436) – \left( { – 1586 + 532} \right) – \left( {568 + 468} \right) + 1434\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = ( – 1436) + 1586 – 532 – 568 – 468 + 1434\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {\rm{[}}( – 1436) – 568{\rm{]}}\,\,{\rm{ + }}\,\,{\rm{(1586}}\,\,{\rm{ + 1434)}} – \,(532 + 468)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \,\,\,( – 2004) + 3020 – 1000\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \,\,\,1016 – 1000\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \,\,\,16\\b)\,\,B = \dfrac{{{{18}^6}{{.2}^{12}}{{.4}^3}{{.9}^3}}}{{{{16}^3}{{.6}^9}{{.27}^3}}} = \dfrac{{{{\left( {{{2.3}^2}} \right)}^6}{{.2}^{12}}.{{\left( {{2^2}} \right)}^3}.{{\left( {{3^2}} \right)}^3}}}{{{{\left( {{2^4}} \right)}^3}.{{\left( {2.3} \right)}^9}.{{\left( {{3^3}} \right)}^3}}} = \dfrac{{{2^6}{{.3}^{12}}{{.2}^{12}}{{.2}^6}{{.3}^6}}}{{{2^{12}}{{.2}^9}{{.3}^9}{{.3}^9}}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{\left( {{2^6}{{.2}^{12}}{{.2}^6}} \right).\left( {{3^{12}}{{.3}^6}} \right)}}{{\left( {{2^{12}}{{.2}^9}} \right).\left( {{3^9}{{.3}^9}} \right)}} = \dfrac{{{2^{24}}{{.3}^{18}}}}{{{2^{21}}{{.3}^{18}}}} = \dfrac{{{2^{21}}{{.2}^3}{{.3}^{18}}}}{{{2^{21}}{{.3}^{18}}}} = {2^3}.\end{array}\)
Bài 2:
\(\begin{array}{l}a)\;{\left| { – 2} \right|^{10}} – (x + 24) = 80 – \left[ {( – 4){{.5}^2} + {2^4}.5} \right]\\\;\;\;\;\;{2^{10}} – (x + 24)\;\;\; = 80 – \left[ {( – 4).25 + 16.5} \right]\\\;\;\;\;1024 – (x + 24) = 80 – \left[ { – 100 + 80} \right]\\\;\;\;\;1024 – x – 24 = 80 + 100 – 80\\\;\;\;\;1024 – 24 – x = 80 – 80 + 100\\\;\;\;\;\;1000 – x\;\;\;\;\;\;\; = 100\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\;\;\;\;\;x\;\;\;\;\;\;\; = 1000 – 100\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\;\;\;\;\;x\;\;\;\;\;\;\; = 900.\end{array}\)
b) Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\left| {x – 4} \right| \ge 0\\\left| {y + 5} \right| \ge 0\end{array} \right.\,\,\) (với mọi \(x \in \mathbb{Z}\,,\,\,\,y \in \mathbb{Z}\))
Vì \(1 = 1 + 0 = 0 + 1\) nên suy ra\(\left\{ \begin{array}{l}\left| {x – 4} \right| = 0\\\left| {y + 5} \right| = 1\end{array} \right.\,\,\)hoặc \(\left\{ \begin{array}{l}\left| {x – 4} \right| = 1\\\left| {y + 5} \right| = 0\end{array} \right.\,\,\)
Advertisements (Quảng cáo)
+) Trường hợp 1: \(\left\{ \begin{array}{l}\left| {x – 4} \right| = 1\\\left| {y + 5} \right| = 0\end{array} \right.\,\,\)
\(\left| {x – 4} \right| = 0\,\, \Rightarrow \,\,x – 4 = 0\,\,\, \Rightarrow \,\,x = 4\)
\(\left| {y + 5} \right| = 1\,\,\, \Rightarrow \,\,y + 5 = 1\)hoặc \(y + 5 = 1\,\,\, \Rightarrow \,\,y = – 4\) hoặc \(y = – 6\)
Với trường hợp 1 có hai cặp (x; y) thỏa mãn là \(x = 4\,;\,\,y = – 4\,\) và \(x = 4\,;\,\,y = – 6\).
+) Trường hợp 2: \(\left\{ \begin{array}{l}\left| {x – 4} \right| = 1\\\left| {y + 5} \right| = 0\end{array} \right.\,\,\)
\(\left| {x – 4} \right| = 1\,\,\, \Rightarrow \,\,x – 4 = 1\)hoặc \(x – 4 = – 1\,\,\, \Rightarrow \,\,x = 5\) hoặc \(x = 3\)
\(\left| {y + 5} \right| = 0\,\, \Rightarrow \,\,y + 5 = 0\,\,\, \Rightarrow \,\,y = – 5\)
Với trường hợp 2 có hai cặp (x; y) thỏa mãn là \(x = 3\,\,;\,\,y = – 5\,\) và \(x = 5\,\,;\,\,y = – 5\).
Vậy có 4 cặp số nguyên thỏa mãn yêu cầu đề bài: \(\left( {x;\;y} \right) = \left\{ {\left( {4; – 4} \right);\;\left( {4; – 6} \right);\;\left( {3; – 5} \right);\;\left( {5; – 5} \right)} \right\}.\)
Bài 3
Gọi \(x\)là số học sinh dự thi nghi thức đội\((800 < x < 1000)\).
Nếu xếp mỗi hàng \(20\) thì dư \(9\) em nên ta có \((x – 9)\,\, \vdots \,\,20\).
Nếu xếp mỗi hàng \(30\) thì thiếu \(21\)em, tức là nếuxếp mỗi hàng \(30\) thì sẽ dư 9 em, do đó \((x – 9)\,\, \vdots \,\,30\).
Nếu xếp mỗi hàng \(35\) thì thiếu \(26\)em, tức là nếuxếp mỗi hàng \(35\) thì sẽ dư 9 em, do đó \((x – 9)\,\, \vdots \,\,35\).
Vậy \((x – 9)\,\, \vdots \,\,20\,\,;\,\,(x – 9)\,\, \vdots \,\,30\,\,;\,\,(x – 9)\,\, \vdots \,\,35\)suy ra \(x – 9 \in BC\,(20;\,\,30;\,\,35)\)
Advertisements (Quảng cáo)
Ta có: \(20\, = {2^2}.5\,\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,30 = 2.3.5\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,35 = 5.7\).
\(BCNN(20\,;\,\,30\,;\,\,35) = {2^2}.3.5.7 = 420\).
\(BC{\rm{ }}(20;{\rm{ 30}};{\rm{ 35}}) = B\left( {420} \right) = \left\{ {0;{\rm{ 420}};{\rm{ 840}};{\rm{ 126}}0;{\rm{ }} \ldots } \right\}\)
Do đó: \(x – 9 \in \left\{ {0;{\rm{ 42}}0;{\rm{ 84}}0;{\rm{ 126}}0;{\rm{ }} \ldots } \right\}\)
Suy ra \(x \in \left\{ {9;{\rm{ 429}};{\rm{ 849}};{\rm{ 1269}};{\rm{ }} \ldots } \right\}\)
Lại có \(800 < x < 1000\) nên\(x = 849\) .
Vậy có tất cả \(849\) em dự thi nghi thức đội.
Bài 4:
a) Trên tia AB ta có \(AC < AD\;\;\left( {do\;\;3cm < 9cm} \right)\)nên C là điểm nằm giữa hai điểm A và B\(\begin{array}{l} \Rightarrow AC + CB = AB\\ \Rightarrow CB = AB – AC = 9 – 3 = 6\,\,(cm)\end{array}\)
+) Vì điểm D nằm giữa hai điểm B và C nên CD + DB = BC (*)
Theo đề bài \(CD = \dfrac{1}{3}DB\) , thay vào (*) ta được:
\(\begin{array}{l}\dfrac{1}{3}DB + DB = BC\\ \Rightarrow \dfrac{4}{3}DB = BC\\ \Rightarrow DB = 6:\dfrac{4}{3} = 4,5\,\,(cm)\\ \Rightarrow CD = \dfrac{1}{3}DB = 4,5:3 = 1,5\,cm\end{array}\)
Trên tia BA ta có\(BD < BA\;\;\left( {do\;\;4,5cm < 9cm} \right)\) nên D là điểm nằm giữa hai điểm B và A
\(\begin{array}{l} \Rightarrow BD + DA = BA\\ \Rightarrow DA = BA – BD = 9 – 4,5 = 4,5\,\,\,(cm)\\ \Rightarrow AD = 4,5cm\end{array}\)
b) Theo chứng minh trên ta có D là điểm nằm giữa hai điểm B và A.
Lại có AD = DB = 4,5cm.
Từ đó suy ra D là trung điểm của đoạn thẳng AB.
Bài 5.
a) Theo đề bài ta có:
a chia cho 5 dư 4 nên \(\left( {a – 4} \right)\; \vdots \;5 \Rightarrow 4\left( {a – 4} \right)\; \vdots \;5 \Leftrightarrow \left( {4a – 16} \right)\; \vdots \;5 \Rightarrow \left( {4a – 1} \right)\; \vdots \;5\)
a chia cho 7 dư 2 nên \(\left( {a – 2} \right)\; \vdots \;7 \Rightarrow 4\left( {a – 2} \right)\; \vdots \;7 \Leftrightarrow \left( {4a – 8} \right)\; \vdots \;7 \Rightarrow \left( {4a – 1} \right)\; \vdots \;7\)
a chia cho 9 dư 7 nên \(\left( {a – 7} \right)\; \vdots \;9 \Rightarrow 4\left( {a – 7} \right)\; \vdots \;9 \Leftrightarrow \left( {4a – 28} \right)\; \vdots \;9 \Rightarrow \left( {4a – 1} \right)\; \vdots \;9\)
\( \Rightarrow \left( {4a – 1} \right)\) chia hết cho \(5,\;7,\;9.\)
Hay \(\left( {4a – 1} \right) = BC\left( {5;\;7;\;9} \right)\)
Mà \(a\) nhỏ nhất \( \Rightarrow \left( {4a – 1} \right) = BCNN\left( {5;\;7;\;9} \right) = 5.7.9 = 315.\)
\( \Rightarrow 4a – 1 = 315 \Leftrightarrow 4a = 316 \Leftrightarrow a = 79.\)
Vậy \(a = 79\) là số cần tìm.
b) Ta có:
\(\begin{array}{l}A = {1.2^2} + {2.3^2} + {3.4^2} + … + {2017.2018^2}\\ = 1.2.\left( {3 – 1} \right) + 2.3.\left( {4 – 1} \right) + 3.4.\left( {5 – 1} \right) + ….. + 2017.2018.\left( {2019 – 1} \right)\\ = \left( {1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + … + 2017.2018.2019} \right) – \left( {1.2 + 2.3 + 3.4 + …2017.2018} \right)\end{array}\)
Đặt: \(\left\{ \begin{array}{l}M = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + … + 2017.2018.2019\\N = 1.2 + 2.3 + 3.4 + …. + 2017.2018\end{array} \right.\)
Khi đó ta có:
\(\begin{array}{l}4M = 1.2.3.4 + 2.3.4.\left( {5 – 1} \right) + 3.4.5.\left( {6 – 2} \right) + … + 2017.2018.2019.\left( {2020 – 2016} \right)\\\;\;\;\;\;\; = 1.2.3.4 + 2.3.4.5 – 2.3.4.1 + 3.4.5.6 – 2.3.4.5 + ….. + 2017.2018.2019.2020 – 2016.2017.2018.2019\\\;\;\;\;\;\; = 2017.2018.2019.2020\\ \Rightarrow M = \dfrac{{2017.2018.2019.2020}}{4} = 505.2017.2018.2019.\end{array}\)
\(\begin{array}{l}3N = 1.2.3 + 2.3.\left( {4 – 1} \right) + 3.4.\left( {5 – 2} \right) + …. + 2017.2018.\left( {2019 – 2016} \right)\\\;\;\;\;\; = 1.2.3 + 2.3.4 – 1.2.3 + 3.4.5 – 2.3.4 + ….. + 2017.2018.2019 – 2016.2017.2018\\\;\;\;\;\; = 2017.2018.2019\\ \Rightarrow N = \dfrac{{2017.2018.2019}}{3} = 673.2017.2018.\end{array}\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow A = M – N = 505.2017.2018.2019 – 673.2017.2018\\\;\;\;\;\;\;\; = 2017.2018\left( {505.2019 – 673} \right)\\\;\;\;\;\;\;\; = 2017.2018.1019528.\end{array}\)
