Kiểm tra 15 phút Toán Chương 1 Hình học 8: Chứng minh EF = AH

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi E, F lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ H xuống AB và AC.

a) Chứng minh EF = AH.

b) Kẻ trung tuyến AM của tam giác ABC. Chứng minh \(AM \bot EF.\)

a) Dễ thấy AEHF là hình chữ nhật (có ba góc vuông)

\( \Rightarrow EF = AH\) (tính chất hai đường chéo của hình chữ nhật).

b) Ta có \(AM = MC = \dfrac{1 }{ 2}BC\) (đường trung tuyến của tam giác vuông bằng nửa cạnh huyền)

\( \Rightarrow \Delta AMC\) cân tại M nên \(\widehat {MAC} = \widehat C.\)

Mặt khác AEHF là hình chữ nhật (cmt)

\( \Rightarrow OA = OF\) hay \(\Delta AOF\) cân

\( \Rightarrow \widehat {OAF} = \widehat {OFA}\) mà \(\widehat {OAF} = \widehat B\) (cùng phụ với \(\widehat C\)) \( \Rightarrow \widehat {OFA} = \widehat B.\)

\(\Delta ABC\) vuông tại A có \(\widehat B + \widehat C = {90^ \circ } \Rightarrow \widehat {OFA} + \widehat {MAC} = {90^ \circ }\)

\( \Rightarrow \widehat {AOF} = {90^ \circ }\) hay \(AM \bot EF.\)