Kiểm tra 15 phút Toán Chương 1 Đại số 8: Chứng minh rằng: a^3+b^3 = 1 – 3ab

Bài 1. Chứng minh rằng: \({\left( {a + b} \right)^3} – 3ab\left( {a + b} \right) = {a^3} + {b^3}.\)

Bài 2. Tính \({x^3} + {y^3}\) , biết \(x + y = 3\) và \(xy = 2.\)

Bài 3. Cho \(a + b = 1.\) Chứng minh rằng: \({a^3} + {b^3} = 1 – 3ab.\)

Bài 1. Ta có:

\({\left( {a + b} \right)^3} – 3ab\left( {a + b} \right) \)

\(= {a^3} + 3{a^2}b + 3a{b^2} + {b^3} – 3{a^2}b – 3a{b^2}\)

\( = {a^3} + {b^3}\) (đpcm).

Bài 2. Áp dụng kết quả câu 1, ta có: \({\left( {x + y} \right)^3} – 3xy\left( {x + y} \right) = {x^3} + {y^3}\)

Vậy \({x^3} + {y^3} = {3^3} – 3.2.3 = 9.\)

Bài 3. Ta có : \(a + b = 1 \Rightarrow b = 1 – a.\)

Vậy \({a^3} + {b^3} = {a^3} + {\left( {1 – a} \right)^3} \)\(\;= {a^3} + 1 – 3a + 3{a^2} – {a^3} \)\(\;= 1 – 3a + 3{a^2}.\)

Lại có : \(1 – 3ab = 1 – 3a\left( {1 – a} \right) \)\(\;= 1 – 3a + 3{a^2}.\)

Từ hai kết quả trên, ta có : \({a^3} + {b^3} = 1 – 3ab\) (đpcm).

Chú ý : Có thể áp dụng câu 1.