Cho tam giác ABC cân ở A. M là trung điểm của BC. Trên tia AM lấy N. BN cắt AC ở D, CN cắt AB ở E. Chứng minh BEDC là hình thang cân.
\(\Delta ABC\) cân có AM là đường trung tuyến (gt) \( \Rightarrow AM\) cũng là đường trung trực của BC.
N thuộc AM \( \Rightarrow NB = NC\) hay \(\Delta NBC\) cân tại N \( \Rightarrow \widehat {{B_1}} = \widehat {{C_1}}\)
Xét \(\Delta BEC\) và \(\Delta CDB\) có BC chung, \(\widehat B = \widehat C\) (gt)
Advertisements (Quảng cáo)
\(\widehat {{C_1}} = \widehat {{B_1}}(cmt)\)
\(\Rightarrow \Delta BEC = \Delta CDB(g.c.g)\)
\( \Rightarrow EB = DC\)
Mà \(AB = AC(gt) \) \(\Rightarrow AB – EB = AC – DC\)
Advertisements (Quảng cáo)
Hay AE = AD.
Từ đó \(\Delta AED\) cân tại A \( \Rightarrow \widehat {AED} = \widehat {ADE} =\dfrac {{{{180}^ \circ } – \widehat A} }{2}\)
Với \(\Delta ABC\) có: \(\widehat {ABC} = \widehat {ACB} = \dfrac{{{{180}^ \circ } – \widehat A} }{2} \) \(\Rightarrow \widehat {AED} = \widehat {ABC}\)
Do đó \(ED// BC\) (cặp góc đồng vị bằng nhau)
Lại có \(\widehat B = \widehat C\) (gt). Vậy BEDC là hình thang cân.
