Đề kiểm tra 15 phút môn Toán Chương 1 Hình học 8: Chứng minh BMDC là hình thang cân.

Tam giác ABC  cân tại A, M là điểm bất kì nằm giữa hai điểm A và B. Trên tia đối của tia CA lấy N sao cho CN = BM. Vẽ ME và NF lần lượt vuông góc với đường thẳng BC. Gọi I là giao điểm của MN và BC.

a) Chứng minh IE = IF.

b) Trên cạnh AC lấy D sao cho CD = CN. Chứng minh BMDC là hình thang cân.

Ta có \(\widehat B = \widehat C\) (gt) mà \(\widehat C = \widehat {NCF}\) (đối đỉnh)

Do đó \(\Delta MEB = \Delta NFC\) (cạnh huyền – góc nhọn) \( \Rightarrow ME = NF\)

\(ME// NF\) (cùng vuông góc với BC)

\( \Rightarrow \widehat {EMI} = \widehat {FNI}\) (so le trong)

Từ đó \(\Delta IME = \Delta INF(g.c.g) \Rightarrow IE = IF\)

CD = CN mà CN = BM (gt)

\( \Rightarrow BM = CD\) mà \(AB = AC\)

\( \Rightarrow AB – BM = AC – CD\) hay AM = AD

\( \Rightarrow \Delta AMD\) cân tại A nên: \(\widehat {AMD} = \widehat {ADM} = \dfrac{{{{180}^ \circ } – \widehat A}}{2}\)

Mặt khác\(\Delta ABC\) cân tại A \( \Rightarrow \widehat {ABC} = \widehat {ACB} =\dfrac {{{{180}^ \circ } – \widehat A} }{2}\)

Do đó \(\widehat {AMD} = \widehat {ABC} \Rightarrow MD//BC\) hay BMDC là hình thang có \(\widehat B = \widehat C\)