Đề kiểm tra 45 phút Hình học 7 Chương 3 Quan hệ giữa các yếu tố trong tam giác – Các đường đồng quy của tam giác: Chứng minh DE // HK

Bài 1: Cho tam giác ABC có \(\widehat B = {70^0},\widehat C = {60^0},\) vẽ đường cao AH. Hãy so sánh độ dài các đoạn HB và HC.

Bài 2: Cho tam giác ABC nhọn,  hai trung tuyến BD và CE cắt nhau tại G. Gọi H, K lần lượt là trung điểm của GB và GC. Chứng minh DE // HK.

Bài 3: Cho tam giác ABC  cân tại A (\(AB > AC\)), hai đường cao BD và CE cắt nhau tại H. Chứng minh:

a) \(\Delta AB{\rm{D}}\) và \(\Delta AC{\rm{E}}\) bằng nhau;

b) AH là đường trung trực của đoạn BC;

c) DE và BC song song với nhau;

d) \(AH > CH.\)

Bài 1:

a) Ta có \(\widehat B > \widehat C\) (\({70^0} > {60^0}\) (gt)

\( \Rightarrow AC > AB\) (quan hệ góc cạnh trong tam giác)

\( \Rightarrow HC > HB\) (quan hệ đường xiên hình chiếu).

Bài 2:

BD và CE là hai trung tuyến cắt nhau tại G nên G là trọng tâm \(\Delta ABC.\)

Ta có \(GB = 2G{\rm{D}}\) và \(GC = 2GE\) (tính chất trọng tâm);

H, K lần lượt là trung điểm của GB và GC (gt)

\( \Rightarrow GH = G{\rm{D}}\) và \(GK = GE.\)

Do đó \(\Delta {\rm E}G{\rm{D}} = \Delta KGH\) (c.g.c)

\({\widehat E_1} = {\widehat K_1}\) (góc tương ứng)

Do đó ED // HK (cặp góc so le trong bằng nhau).

Bài 3:

a) Xét \(\Delta A{\rm{D}}B\) và \(\Delta A{\rm{E}}C\) có

+) \(AB = AC\) (gt);

+) \(\widehat A\): chung.

Do đó \(\Delta A{\rm{D}}B = \Delta A{\rm{E}}C\) (cạnh huyền – góc nhọn).

b) BD và CE là hai đường cao của \(\Delta ABC\) (gt), mà BD cắt CE tại H là trực tâm.

Mặt khác, \(\Delta ABC\) cân tại A (gt) nên đường cao AH cũng đồng thời là đường trung trực của BC.

c) Ta có \(\Delta A{\rm{D}}B = \Delta A{\rm{E}}C\) (cmt)

\( \Rightarrow A{\rm{D}} = A{\rm{E}}.\) Do đó \(\Delta A{\rm{D}}E\) cân tại A, ta có

\(\widehat {A{\rm{ED}}} = \widehat {A{\rm{D}}E} = \dfrac{{{{180}^0} – \widehat A} }{ 2}\)    (1).

Tương tự \(\Delta ABC\) cân tại A, ta có

\(\widehat {ABC} = \widehat {ACB} = \dfrac{{{{180}^0} – \widehat A} }{2}\)    (2).

Từ (1) và (2) \( \Rightarrow \widehat {A{\rm{ED}}} = \widehat {ABC} = \dfrac{{{{180}^0} – \widehat A}}{ 2} \Rightarrow \)

ED// BC (cặp góc so le trong bằng nhau).

d) Ta có \(AB > BC\) (gt) \( \Rightarrow A{\rm{D}} > C{\rm{D}}\) (quan hệ đường xiên hình chiếu) \( \Rightarrow AH > CH.\)