Bài kiểm tra 1 tiết Chương 4 – Đại số 7 Biểu thức đại số: Chứng tỏ x = – 1 là nghiệm của f(x) và g(x)

Bài 1: Cho hai đa thức: \(P =  – 2{{\rm{x}}^3} + x{y^2} + 3{\rm{x}};Q = 3{{\rm{x}}^3} – x{y^2} + 4{\rm{x}}.\)

a) Tính \(P + Q\).

b)  Tính \(P – Q\).

Bài 2: Cho hai đa thức: \(f(x) = {x^3} + {x^2} + x + 1;\)\(\;g(x) = {x^3} – 2{x^2} + x + 4\).

a) Chứng tỏ x = – 1 là nghiệm của f(x) và g(x).

b) Tính \(f(x) – g(x)\) và tìm giá trị của \(f(x) – g(x)\) tại \(x =  – {1 \over 2}.\)

Bài 3: Tìm m để đa thức \(K(x) = m{{\rm{x}}^2} – 2{\rm{x}} + 4\) có một nghiệm là \(x =  – 2.\)

Bài 4: Tìm nghiệm của đa thức  \(M(x) = 2{{\rm{x}}^4} – 4{{\rm{x}}^3}\).

Bài 5: Cho \(A(x) = m + n{\rm{x}} + p{\rm{x}}(x – 1),\) biết \(A(0) = 5;A(1) =  – 2;A(2) = 7.\) Tìm đa thức A(x).

Bài 1: a) \(P + Q = ( – 2{{\rm{x}}^3} + x{y^2} + 3{\rm{x}}) + (3{{\rm{x}}^3} – x{y^2} + 4{\rm{x)}}\)

\(\eqalign{  &  =  – 2{x^3} + x{y^2} + 3x + 3{x^3} – x{y^2} + 4x  \cr  &  = {x^3} + 7x. \cr} \)

b) \(P – Q = ( – 2{{\rm{x}}^3} + x{y^2} + 3{\rm{x}}) – (3{{\rm{x}}^3} – x{y^2} + 4{\rm{x)}}\)

\(\eqalign{  &  =  – 2{x^3} + x{y^2} + 3x – 3{x^3} + x{y^2} – 4x  \cr  &  =  – 5{x^3} + 2x{y^2} – x. \cr} \)

Bài 2: a) Ta có \(f( – 1) = {( – 1)^3} + {( – 1)^2} + ( – 1) + 1 \)\(\;=  – 1 + 1 – 1 + 1 = 0\)

\( \Rightarrow x =  – 1\) là nghiệm của f(x).

Tương tự,  \(g( – 1) = {( – 1)^3} – 2{( – 1)^2} + ( – 1) + 4 \)\(\;=  – 1 – 2 – 1 + 4 = 0\)

\(\Rightarrow x =  – 1\) là nghiệm của g(x).

b) Ta có:

\(\eqalign{  f(x) – g(x) &= ({x^3} + {x^2} + x + 1) – ({x^3} – 2{x^2} + x + 4)  \cr  & {\rm{                 }} = {x^3} + {x^2} + x + 1 – {x^3} + 2{x^2} – x – 4  \cr  & {\rm{                 }} = 3{x^2} – 3. \cr} \)

 Thay \(x =  – {1 \over 2}\) vào biểu thức trên, ta được:

 \(f\left( { – {1 \over 2}} \right) – g\left( { – {1 \over 2}} \right) = 3.{\left( { – {1 \over 2}} \right)^2} – 3 \)\(\;= {3 \over 4} – 3 =  – {9 \over 4}.\)

Bài 3: Vì \(x =  – 2\) là nghiệm của K(x) nên ta có \(K( – 2) = 0\)

\(m.{( – 2)^2} – 2.( – 2) + 4 = 0 \)

\(\Rightarrow 4m + 8 = 0 \)

\(\Rightarrow 4m =  – 8 \Rightarrow m =  – 2.\)

Bài 4: Ta có: \(2{{\rm{x}}^4} – 4{{\rm{x}}^3} = 0 \Rightarrow 2{{\rm{x}}^3}(x – 2) = 0\)

\( \Rightarrow {x^3} = 0\) hoặc \(x – 2 = 0\).

\( \Rightarrow x = 0\) hoặc \(x = 2\).

Bài 5: Ta có: \(A(0) = 5\)

\(\Rightarrow m + n.0 + p.0.(0 – 1) = 5\)

\(\Rightarrow m = 5.\)

Khi đó \(A(x) = 5 + n{\rm{x}} + p{\rm{x}}{\rm{.}}(x – 1).\)

Lại có \(A(1) =  – 2\)\(\; \Rightarrow 5 + n.1 + p.1.(1 – 1) =  – 2\)

\(\Rightarrow 5 + n =  – 2 \Rightarrow n =  – 7.\)

Ta được \(A(x) = 5 – 7{\rm{x}} + p{\rm{x}}{\rm{.}}(x – 1).\)

Vì  \(A(2) = 7\)\(\; \Rightarrow 5 – 7.2 + p.2.(2 – 1) = 7 \)

\(\Rightarrow 2p = 16 \Rightarrow p = 8.\)

Vậy \(A(x) = 5 – 7{\rm{x}} + 8{\rm{x}}(x – 1) \)\(\;= 5 – 7{\rm{x}} + 8{{\rm{x}}^2} – 8{\rm{x}} \)\(\;= 8{{\rm{x}}^2} – 15{\rm{x}} + 5.\)