Kiểm tra 45 phút Chương 3 – Vecto trong không gian, quan hệ vuông góc trong không gian Hình học 11: Tính độ dài cạnh SA

1. Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng?

A. Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì vuông góc với nhau.

B. Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau.

C. Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một mặt phẳng thì song song với nhau.

D. Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau.

2. Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy và SC tạo với mặt phẳng (SAB) một góc 30⁰. Tính độ dài cạnh SA.

A. \(a\sqrt 3 \)                      B. a

C. \(a\sqrt 2 \)                      D. 2a.

3. Cho hình chóp S.ABCD có \(SA \bot \left( {ABC} \right)\) và \(\Delta ABC\) vuông tại B, AH là đường cao của \(\Delta SAB\). Khẳng định nào sau đây sai?

A. \(BC \bot \left( {SAB} \right)\).

B. \(AH \bot SC\).

C. \(AH \bot AC\).

D. \(SA \bot BC\).

4. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai ?
A. \(\overrightarrow {AB’}  = \overrightarrow {DC’} \).

B. \(\overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {B’C’} \).

C. \(\overrightarrow {AB} \,,\,\,\overrightarrow {D’C’} \) cùng hướng.

 D. \(\overrightarrow {CD’} \,,\,\,\overrightarrow {BA’} \) ngược hướng.

5. Giả sử \(\overrightarrow u \,,\,\overrightarrow v \) lần lượt là véc tơ chỉ phương của 2 đường thẳng a và b. Giả sử \(\left( {\overrightarrow u \,,\,\overrightarrow v } \right) = {150^0}\). Tính góc giữa a và b .

A. – 30⁰                  B. 170⁰

C. 30⁰                     D. – 170⁰.

6. Cho hình lập phương ABCD.EFGH, góc giữa hai véc tơ \(\overrightarrow {AB} \,,\overrightarrow {BG} \) là:

A. 45⁰                    B. 180⁰

C. 90⁰                    D. 60⁰.

7.  Ba vec tơ \(\overrightarrow a \,,\,\overrightarrow b \,,\,\overrightarrow c \) không đồng phẳng nếu?

A. Ba đường thẳng chứa chúng không cùng một mặt phẳng .

B. Ba đường thẳng chứa chúng cùng thuộc một mặt phẳng .

C. Ba đường thẳng chứa chúng không cùng song song với một mặt phẳng .

D. Ba đường thẳng chứa chúng  cùng song song với một mặt phẳng.

8. Tứ diện OABC có cac cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc và đều có độ dài là l. Gọi M là trung điểm của cạnh AB. Góc giữa hai vec tơ \(\overrightarrow {OM} \,,\,\overrightarrow {BC} \)bằng;

A. 0⁰                           B. 45⁰

C. 90⁰                          D. 120⁰.

9. Cho hình chóp S. ABCD đáy là hình thoi tâm O và SA  = SC, SB = SD. Đường thẳng DB không vuông góc với đường thẳng nào sau đây?

A. AC                        B. SA

C. SB                         D. SC.

10. Chi hình tứ diện ABCD có AB, BC, CD đôi một vuông góc với nhau và AB = a, BC = b, CD = c. Độ dài AD bẳng:

A. \(\sqrt {{a^2} + {b^2} – {c^2}} \).

B. \(\sqrt {{a^2} + {c^2} – {b^2}} \).

C. \(\sqrt {{b^2} + {c^2} – {a^2}} \).

D. \(\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \).

11. Cho tứ diện ABCD có : AB =AC =AD, góc BAC bằng BAD bằng 60⁰. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB  và CD.  Đường vuông góc chung của AB và CD là:

A. BN                    B. AN

C. BC                     D. MN

12. Cho tứ diện ABCD với trọng tâm G và I, J, H, K, M, N  lần lượt là các trung điểm của các cạnh AC, BD, BC, AD, AB, CD. Tìm câu trả lời đúng.

A. MK = BJ= JD = HN.

B. MI = BH = HC = JN.

C. MH = AI = IC = KN.

D. Cả ba đều đúng.

13. Cho hình chóp S. ABCD có ABCD là hình thoi tâm O  và SA = SC, SB = SD. Đường thẳng BC vuông góc với đường thẳng nào sau đây ?

A. SA.              B. SB.

C. SC.              D. SO.

14. Cho một điểm S có hình chiếu H trên mặt phẳng (P). Với điểm M bất kì trong (P) ta có:

A. SM lớn hơn SH.

B. SM không nhỏ hơn SH.

C. SM không lớn hơn SH.

D. SM nhỏ hơn SH.

15. Đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng phân biệt trong mặt phẳng (P) thì:

A. a vuông góc với mặt phẳng (P).

B. a không vuông góc với mặt phẳng (P).

C. a không thể vuông góc với mặt phẳng (P).

D. a có thể vuông góc với mặt phẳng (P).

16. Cho tứ diện ABCD. Gọi P, Q là trung điểm của BA và CD. Chọn đẳng thức đúng?

A. \(\overrightarrow {PQ}  = \dfrac{1}{2}\left( {\overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {AD} } \right)\).

B. \(\overrightarrow {PQ}  = \dfrac{1}{2}\left( {\overrightarrow {BC}  – \overrightarrow {AD} } \right)\).

C. \(\overrightarrow {PQ}  = \overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {AD} \).

D. \(\overrightarrow {PQ}  = \dfrac{1}{4}\left( {\overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {AD} } \right)\).

17. Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình bình hành có tâm O. Gọi G là điểm thảo mãn \(\overrightarrow {GS}  + \overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC}  + \overrightarrow {GD}  = \overrightarrow 0 \). Chọn khẳng định đúng .

A. G, S, O không thẳng hàng.

B. \(\overrightarrow {GS}  = 3\overrightarrow {OG} \).

C. \(\overrightarrow {GS}  = 4\overrightarrow {OG} \).

D. \(\overrightarrow {GS}  = 5\overrightarrow {OG} \).

18. Cho hình chop đều S.ABCD cạnh a. Gọi O là tâm ABCD. Tính SO?

A.\(\dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\)                 B.\(\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\) .

C.\(a\)                                 D.\(\dfrac{a}{2}\)

19. Cho tứ diện ABCD có AC = a, BD = 3a. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AD và BC. Biết AC vuông góc với BD . Tính MN.

A. \(MN = \dfrac{{a\sqrt {10} }}{2}\).

B. \(MN = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{3}\).

C. \(MN = \dfrac{{3a\sqrt 2 }}{2}\).

D. \(MN = \dfrac{{2a\sqrt 3 }}{3}\).

20. Cho tứ diện đều ABCD (tứ diện có tất cả các cạnh bằng nhau). Số đo góc giữa hai đường thẳng AB và CD bằng:

A. 30⁰                         B. 45⁰

C. 60⁰                         D. 90⁰.

21. Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC và tam giác ABC vuông tại B . Vẽ \(SH \bot \left( {ABC} \right)\,,\,H \in (ABC)\). Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

A. H trùng với trọng tâm tam giác ABC .

B. H trùng với trực tâm tam giác ABC.

C. H trùng với trung điểm của AC .

D. H trùng với trung điểm của BC .

22. Cho tứ diện ABCD. Vẽ\(AH \bot \left( {BCD} \right)\). Biết H là trực tâm tam giác BCD. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

A. AB = CD.           B. AC = BD.

C. \(AB \bot CD\).         D. \(CD \bot BD\).

23. Cho hình chóp S.ABC có \(SA \bot \left( {ABC} \right)\) và đáy ABC vuông tại A . Khẳng định nào sau đây sai?

A. \(\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABC} \right)\).

B. \(\left( {SAB} \right) \bot \left( {SAC} \right)\).

C. Vẽ \(AH \bot BC\,,\,\,H \in BC\,\, \Rightarrow \,\,\)góc ASH là góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC).

D. Góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SAC) là góc SCB.

24. Cho hình chóp S.ABC có hai mặt bên (SBC) và (SAC) vuông góc với đáy (ABC). Khẳng định nào sau đây sai ?

A. \(SC \bot \left( {ABC} \right)\).

B. \(\left( {SAC} \right) \bot \left( {ABC} \right)\).

C. Nếu A’ là hình chiếu vuông góc của A lên (SBC) thì \(SA’ \bot SB\).

D. BK là đường cao của tam giác ABC thì \(BK \bot \left( {SAC} \right)\).

25. Cho hình chóp S.ABC trong đó SA, AB, BC vuông góc với nhau từng đôi một. BiếtSA  = 3a, AB\( = a\sqrt 3 \), BC\( = a\sqrt 6 \). Khỏang cách từ B đến SC bằng:

A. \(a\sqrt 5 \).                   B. 2a.

C. \(a\sqrt 2 \).                   D. a.

2. Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AB\\BC \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot (SAB) \to \left( {SC,(SAB)} \right) = \left( {SC,SB} \right) = \widehat {CSB}\)

Tam giác SBC vuông tại B ( do \(BC \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow BC \bot SB\) ), suy ra \(\tan {30^0} = \dfrac{{BC}}{{SB}} = \dfrac{a}{{SB}} \Rightarrow SB = a\sqrt 3  \Rightarrow SA = \sqrt {S{B^2} – A{B^2}}  = a\sqrt 2 \)

Chọn đáp án C.

3.

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot SA\\BC \bot AB\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot (SAB)\) , loại A.

\(BC \bot (SAB) \Rightarrow BC \bot AH\) , lại có \(AH \bot SB \Rightarrow \,AH \bot (SBC) \Rightarrow AH \bot SC\), loại B.

\(SA \bot (ABC) \Rightarrow SA \bot BC\), loại D.

Chọn đáp án C.

6. Do \(AB \bot \left( {BCFG} \right) \Rightarrow AB \bot BG\) nên \(\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {BG} } \right) = {90^0}\) . Chọn đáp án C.

8.

Lấy N là trung điểm của AC suy ra MN // BC. Ta có \(\left( {\overrightarrow {OM} ,\overrightarrow {BC} } \right) = \left( {\overrightarrow {OM} ,\overrightarrow {MN} } \right) = {180^0} – \widehat {OMN}\)

Xét tam giác OMN có

\(\begin{array}{l}OM = ON = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }},\,\,MN = \dfrac{1}{2}BC = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\\ \Rightarrow \cos \widehat {OMN} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow \widehat {OMN} = {60^0} \Rightarrow \left( {\overrightarrow {OM} ,\overrightarrow {BC} } \right) = {120^0}\end{array}\)

Chọn đáp án D.

9.

SA = SC nên tam giác SAC cân tại S, suy ra \(SO \bot AC\).

Tương tự \(SO \bot BD \to SO \bot (ABCD) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}BD \bot SO\\BD \bot AC\end{array} \right. \Rightarrow BD \bot (SAC) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}BD \bot SA\\BD \bot SC\end{array} \right.\)

Chọn đán án C.

10. Ta có

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}AB \bot BC\\Ab \bot CD\end{array} \right. \to AB \bot \left( {BCD} \right) \Rightarrow AB \bot BD\\ \Rightarrow AD = \sqrt {A{B^2} + B{D^2}}  = \sqrt {A{B^2} + B{C^2} + C{D^2}}  = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \end{array}\)

Chọn đáp án D.

11.

\(\left\{ \begin{array}{l}AB = AC = AD\\\widehat {BAC} = \widehat {BAD} = {60^0}\end{array} \right. \Rightarrow \,\Delta ABC = \Delta ADB \Rightarrow \,BC = BD \Rightarrow BN \bot CD\) .

Lại có \(AN \bot CD\) ( do n là trung điểm CD tong tam giác ACD cân tại A) suy ra \(CD \bot \left( {ABN} \right) \Rightarrow \,CD \bot MN\).

Tương tự ta cũng có \(AB \bot MN\).

Chọn đáp án D.

12.

Do J, M, K là trung điểm BD, AB, AD nên MK // BD và \(MK = \dfrac{1}{2}BD = JB = JD\).

Tương tự ta cũng có \(HN = \dfrac{1}{2}BD = JB = JD\), loại A.

Tương tự ta loại B, C.

Chọn đáp án D

13. ( hình vẽ như hình câu 9).

SA =SC nên tam giác SAC cân tại S , suy ra \(SO \bot AC\). Tương tự ta cũng có \(SO \bot BD\). Do đó, \(SO \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SO \bot BC\). Chọn đáp án D.

16. \(\overrightarrow {PQ}  = \overrightarrow {PA}  + \overrightarrow {PQ}  = \dfrac{1}{2}\overrightarrow {BA}  + \dfrac{1}{2}\overrightarrow {AC}  + \dfrac{1}{2}\overrightarrow {AD} \)\(\; = \dfrac{1}{2}\overrightarrow {BC}  + \dfrac{1}{2}\overrightarrow {AD}  = \dfrac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {BC} } \right)\)

Chọn đáp án A.

17.

Ta có G là trọng tâm S.ABCD nên \(\overrightarrow {GS}  =  – \left( {\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC}  + \overrightarrow {GD} } \right) =  – 4\overrightarrow {GO}  = 4\overrightarrow {OG} \)

Chọn đáp án C.

18.

Ta có \(AC = a\sqrt 2 ,\, \Rightarrow AO = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2},\\SO = \sqrt {S{A^2} – O{A^2}}  = \sqrt {{a^2} – {{\left( {\dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2}}  = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\)

Chọn đáp án A.

19. Lấy K là trung điểm của CD. Ta có  Nk //BD và \(NK = \dfrac{1}{2}BD = \dfrac{{3a}}{2}\) , MK // AC và \(MK = \dfrac{1}{2}AC = \dfrac{a}{2}\).\(AC \bot BD \Rightarrow NK \bot MK\)

Tam giác MNK có \(MN = \sqrt {N{K^2} + M{K^2}}  = \dfrac{{a\sqrt {10} }}{2}\)

Chọn đáp án A.

20.

Lấy M, N, K là trung điểm của BC, AC, BD. Ta có (AB, CD) = (MN, MK) = \(\widehat {NMK}\).

Ta có \(\Delta ABC = \Delta ADC\)( các cạnh bằng nhau) nên NB =ND.Xét tam giác NBD  cân tại N có K là trung điểm BD suy ra \(NK \bot BD\).

\(\begin{array}{l}MN = \dfrac{a}{2},\,MK = \dfrac{a}{2},\,ND = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2},\,KD = \dfrac{a}{2} \Rightarrow NK = \dfrac{a}{{\sqrt 2 }}\\ \Rightarrow \cos \widehat {NMK} = \dfrac{{\dfrac{{{a^2}}}{4} + \dfrac{{{a^2}}}{4} – \dfrac{{{a^2}}}{2}}}{{2.\dfrac{a}{2}.\dfrac{a}{2}}} = 0 \Rightarrow \left( {AB,CD} \right) = {90^0}\end{array}\)

21. Ta có SA =SB =SC nên hình chiếu của S xuống (ABC) là điểm cách đều A, B, C. Do tam giác ABC vuông tại B nên H là trung điểm AC.

Chọn đáp án C.

22.  

Gọi BN, CM là hai đường cao trong tam giác BCD. Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}CD \bot AH\\CD \bot BN\end{array} \right. \Rightarrow CD \bot \left( {ABN} \right) \Rightarrow CD \bot AB\) . Chọn đáp án C.

23. \(SA \bot (ABC)\, \Rightarrow \,(SAB) \bot (ABC)\) , loại A.

\(\left\{ \begin{array}{l}AC \bot AB\\AC \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow AC \bot (SAB) \Rightarrow (SAC) \bot (SAB)\) , loại B.

(SBC), (ABC) có BC chung và \(AH \bot BC\) , lại có \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AH\\BC \bot SA\end{array} \right. \)

\(\Rightarrow BC \bot (SAH) \Rightarrow BC \bot SH \)

\(\Rightarrow \left( {(SBC),(ABC)} \right) = \widehat {SHA}\) , loại C.

Chọn đáp án D.

24.

Ta có \((SAC) \cap (SBC) = SC,\,(SAC) \bot (ABC),\,(SBC) \bot (ABC)\)

\(\Rightarrow SC \bot (ABC)\) , loại A.

Do giả thiết ta loại B.

\(BK \bot AC,\,BK \bot SC \Rightarrow BK \bot (SAC)\), loại D.

Chọn đáp án C.

25. Ta có tam giác SBC vuông (do \(BC \bot AB,\,BC \bot SA \Rightarrow BC \bot (SAB) \Rightarrow BC \bot SB\)).

\(\begin{array}{l}SA \bot AB,\,SA \bot BC \Rightarrow SA \bot (ABC) \Rightarrow SA \bot AC \Rightarrow SC = 3\sqrt 2 a\\SB = \sqrt {S{A^2} + A{B^2}}  = 2\sqrt 3 a\\ \Rightarrow d\left( {B,SC} \right) = \dfrac{{SB.BC}}{{SC}} = 2a\end{array}\)

Chọn đáp án B.