Trang Chủ Lớp 10 Khảo sát chất lượng lớp 10 Đề kiểm tra đầu năm Toán 10 trường Chuyên Bắc Ninh 2018:...

Đề kiểm tra đầu năm Toán 10 trường Chuyên Bắc Ninh 2018: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

CHIA SẺ

Đề kiểm tra (thi KSCL đầu năm học) 150 phút trường Chuyên Bắc Ninh có đáp án đầy đủ trên Dethikiemtra.com. Đề gồm 5 câu và mỗi câu 4 điểm. Đây là đề dành cho lớp chuyên Toán nhé.

TRƯỜNG THPT CHUYÊN BẮC NINH

TỔ TOÁN TIN

(Đề thi gồm 05 câu, 01 trang)

 ĐỀ THI ĐỊNH KỲ LẦN 1

MÔN THI: TOÁN 10 (Cho lớp chuyên Toán)

Thời gian làm bài : 150 phút, không kể thời gian phát đề

Ngày thi  20/8/2018

 

Câu 1. Giải hệ phương trình

Câu 2. Cho  là số nguyên tố lẻ. Chứng minh rằng:

Câu 3.

a. Cho tam giác ABC không cân tại A. Đường tròn nội tiếp của tam giác ABC tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB theo thứ tự tại các điểm D, E, F. Đường thẳng qua E và song song với AB cắt AD tại H, gọi K là điểm đối xứng của H qua E. Chứng minh rằng các đường thẳng AK, EF, BC đồng quy.

b. Cho tam giácABC và (J) là đường tròn bàng tiếp gócA của tam giácABC. Đường tròn (J) tiếp xúc với các đường thẳng BC, CA, AB theo thứ tự tại các điểmM, L, K.Hai đường thẳng MLBJ cắt nhau tại F, hai đường thẳng MKCJ cắt nhau tại G. Hai đường thẳng AF và AG cắt đường thẳng  BC theo thứ tự tại S và T. Chứng minh rằng , từ đó chứng minh M là trung điểm ST.

Câu 4. Cho các số thực dương x, y, z. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Câu 5. Trên mặt phẳng, bạn An kẻ  đường thẳng song song nằm ngang vuông góc với  đường thẳng song song nằm dọc và tô màu các giao điểm theo ý định từ trước. Tuy nhiên, An đã tô nhầm màu của   điểm. Để sửa mỗi điểm bị tô sai màu, An cần xóa đi cả đường thẳng chứa điểm đó. Chứng minh rằng, An có thể chọn xóa  đường thẳng ngang và  đường thẳng dọc để sửa được hết tất cả  điểm đã tô nhầm màu.

————– HẾT ————–

(Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay.

Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm)

Họ và tên thí sinh: ……………  Số báo danh: …………………


Thang điểm và lời giải tham khảo

Câu5:

Trong  đường thẳng nằm ngang, ta chọn ra  đường thẳng có số điểm tô nhầm trên mỗi đường là lớn nhất, tức là các đường ngang còn lại có số điểm tô nhầm không lớn hơn các đường ngang đã chọn.
Bây giờ ta chứng minh rằng, số điểm tô nhầm trên  đường này không ít hơn  điểm. Thật vậy, giả sử ngược lại, thì sau khi xóa  đường ngang này, số điểm An cần sửa còn ít nhất +1 điểm. Số này thuộc  đường ngang còn lại, khi đó tất yếu có ít nhất 1 đường ngang chứa từ 2 điểm tô sai màu trở lên. Thế thì chứng tỏ mỗi đường trong  đường ngang chọn ban đầu đều có từ 2 điểm tô sai màu trở lên. Vậy thì số điểm đã xóa không nhỏ hơn  (mâu thuẫn với giả sử trên).
Vậy sau khi xóa n đường ngang thì số điểm tô sai còn lại không vượt quá . Số điểm này nằm trên nhiều nhất  đường dọc. An hoàn toàn chọn được  đường dọc chứa đủ số điểm tô sai còn lại. (đpcm)
CHIA SẺ