Đề thi học kì 1 Toán lớp 10: Cho ABCD là hình bình hành có A(1;3), B(-2;0), C(2;-1). Toạ độ điểm D là gì?

I. PHẦN TRẮC NGHIỆM ( 3đ) Học sinh điền đáp án đúng vào bảng sau:

1. . Cho tập hợp \(A = \left\{ {0;1;2;3;4} \right\}\). Chọn khẳng định sai.

A. \(\emptyset  \subset A\)

B. \(\left\{ {1;2;4} \right\} \subset A\)

C. \(\left\{ { – 1;0;1} \right\} \subset A\)

D. \(0 \in A\)

2. . Cho mệnh đề P(x): “\(\forall x \in R,{x^2} + x + 1 > 0\)”. Mệnh đề phủ định của mệnh đề P(x) là:

A. “\(\exists x \in R,{x^2} + x + 1 \le 0\)”

B. “Không tồn tại \(x \in R,{x^2} + x + 1 > 0\)”                               

C. “\(\forall x \in R,{x^2} + x + 1 \le 0\)”

D. “\(\forall x \in R,{x^2} + x + 1 < 0\)”

3. . Cho tập hợp \(A = \left[ { – \dfrac{1}{2}; + \infty } \right)\).  Khi đó tập hợp \({C_R}A\) là:

A. R

B. \(\left( { – \infty ; – \dfrac{1}{2}} \right]\)

C. \(\left( { – \infty ; – \dfrac{1}{2}} \right)\)

D. \(\emptyset \)

4. . Tập xác định của hàm số y = \(\dfrac{{x – 1}}{{{x^2} – x + 3}}\) là:

A. R

B. \(\left( { – \infty ;1} \right)\)

C. R\ {1 }

D. Æ

5. . Số nghiệm của phương trình \(\left( {{x^2} – 16} \right)\sqrt {3 – x}  = 0\) là:

A. 1 nghiệm.

B. 3 nghiệm.

C. 0 nghiệm.

D. 2 nghiệm.

6. . Cho hàm số\(y = f(x) = 3{x^4} – {x^2} + 2\). Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A. \(y = f\left( x \right)\) là hàm số không chẵn và không lẻ

B. \(y = f\left( x \right)\)là hàm số chẵn trên R

C. \(y = f\left( x \right)\)là hàm số lẻ trên R

D. \(y = f\left( x \right)\) là hàm số vừa chẵn vừa lẻ trên R

7. . Hàm số\(y = \left| {2x + 10} \right|\) là hàm số nào sau đây:

A. \(y = \left\{ \begin{array}{l}2x + 10,…x \ge  – 5\\2x – 10,…x <  – 5\end{array} \right.\)  

B. \(y = \left\{ \begin{array}{l}2x + 10,…x \ge  – 5\\ – 2x + 10,…x <  – 5\end{array} \right.\)

C. \(y = \left\{ \begin{array}{l}2x + 10,…x \ge 5\\ – 2x – 10,…x < 5\end{array} \right.\)

D. \(y = \left\{ \begin{array}{l}2x + 10,…x \ge  – 5\\ – 2x – 10,…x <  – 5\end{array} \right.\)

8. . Cho hàm số \(y =  – 3{x^2} – 4x + 3\) có đồ thị (P). Trục đối xứng của (P) là đường thẳng có phương trình:

A. \(x = \dfrac{4}{3}\)

B. \(x =  – \dfrac{4}{3}\)

C. \(x = \dfrac{2}{3}\)

D. \(x =  – \dfrac{2}{3}\)

9. . Cho hàm số\(y = {x^2} – 4x + 3\), khẳng định nào sau đây đúng?

A. Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { – \infty ;2} \right)\)và nghịch biến trên khoảng \(\left( {2; + \infty } \right)\)

B. Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( { – \infty ; – 1} \right)\)và đồng biến trên khoảng \(\left( { – 1; + \infty } \right)\)

C. Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( { – \infty ; – 2} \right)\)và đồng biến trên khoảng \(\left( { – 8; + \infty } \right)\)

D. Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( { – \infty ;2} \right)\)và đồng biến trên khoảng \(\left( {2; + \infty } \right)\)

10 . Trong hệ trục \(\left( {O;\overrightarrow i ;\overrightarrow j } \right)\), tọa độ của vectơ \(\overrightarrow i  + \overrightarrow j \) là:

A. (-1; 1)                                       B. (0; 1).

C. (1; 0)                                         D. (1; 1)

11 . Cho ABCD là hình bình hành có A(1;3), B(-2;0), C(2;-1). Toạ độ điểm D là:

A. (5;2)                                          B. (4;-17)

C. (4;-1)                                        D. (2;2)

12 . Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho A(5; 2), B(10; 8). Tọa độ của vectơ \(\overrightarrow {AB} \) là:

A. (2; 4)                                         B. (5; 6)

C. (5; 10)                                       D. (-5; -6)

13 (NB). Trong mp Oxy, cho \(\overrightarrow a  = (1; – 2)\), \(\overrightarrow b  = (3;4)\), \(\overrightarrow c  = (5; – 1)\). Toạ độ vectơ \(\overrightarrow u  = 2.\overrightarrow a  + \overrightarrow b  – \overrightarrow c \) là:

A. \((0; – 1)\)                                  B. \(( – 1;0)\)

C. \((1;0)\)                                     D. \((0;1)\)

14 . Trong mp Oxy cho tam giác ABC có A(2;-3),B(4;1), trọng tâm G(-4;2). Khi đó tọa độ điểm C là:

A. \(\left( {\dfrac{2}{3};0} \right)\)

B. (-18;8)

C. (-6;4)

D. (-10;10)

15 . Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho A(1 ; 0), B(0 ; 3), C(-3; -5). Tọa độ của điểm M thuộc trục Ox sao cho \(\left| {2\overrightarrow {MA}  – 3\overrightarrow {MB}  + 2\overrightarrow {MC} } \right|\) nhỏ nhất là :

A. M( 4;5)                           B. M( 0; 4)

C. M( -4; 0)                        D. M( 2; 3)

II. PHẦN TỰ LUẬN ( 7đ)

Câu 1 . (2đ)

a) Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị hàm số \(y =  – {x^2} – 2x + 3\)

b) Tìm m để phương trình: \({x^2} – 2mx + {m^2} – 2m + 1 = 0\) có hai nghiệm \({x_1};{x_2}\) sao cho biểu thức \(T = {x_1}{x_2} + 4\left( {{x_1} + {x_2}} \right)\) nhỏ nhất.

2. . ( 3đ)  Giải các phương trình sau:

a) \(\left| {2x – 1} \right| = 3x – 4\)

b) \(\sqrt {2{x^2} – 4x + 9}  = x + 1\)

c) \(\left( {x + 1} \right)\sqrt {{x^2} – 2x + 3}  = {x^2} + 1{\rm{     }}\)

Câu 3 . (2đ)

a) Cho tứ giác ABCD. Chứng minh rằng: \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {CD}  = \overrightarrow {AD}  – \overrightarrow {BC} \).

b) Cho DABC có trọng tâm G. Gọi M, N là các điểm xác định bởi \(\overrightarrow {AM}  = 2\overrightarrow {AB} \),  \(\overrightarrow {AN}  = \dfrac{2}{5}\overrightarrow {AC} \). Chứng minh rằng:  M, N, G thẳng hàng.

I. PHẦN TRẮC NGHIỆM

II. PHẦN TỰ LUẬN

1. a) +Tập xác định \(D = R\).

+Bảng biến thiên:

+ Vẽ đồ thị hàm số

+ Đỉnh \(I\left( { – 1;4} \right)\)

+ Trục đối xứng \(x =  – 1\)

+ Giao với trục tung \(A\left( {0;3} \right)\)

+ Giao với  trục hoành tại \(B\left( {1;0} \right);\,\,B’\left( { – 3;0} \right)\).

Để phương trình có nghiệm thì: \(\Delta ‘ \ge 0 \Leftrightarrow 2m – 1 \ge 0 \Leftrightarrow m \ge \dfrac{1}{2}\)

b) Ta có: \(\Delta ‘ = {m^2} – {m^2} + 2m – 1 = 2m – 1\).

Để phương trình có 2 nghiệm \( \Leftrightarrow 2m – 1 \ge 0 \Leftrightarrow m \ge \dfrac{1}{2}\).

Với \(m \ge \dfrac{1}{2}\) theo định lí Viét  ta có  \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2m\\{x_1}{x_2} = {m^2} – 2m + 1\end{array} \right.\).

\(T = {x_1}{x_2} + 4\left( {{x_1} + {x_2}} \right) \) \(= {m^2} – 2m + 1 + 8m = {m^2} + 6m + 1\) suy ra  \(T = f\left( m \right) = {m^2} + 6m + 1\).

BBT:

Dựa vào BBT của\(f\left( m \right)\) trên \(\left[ {\dfrac{1}{2}; + \infty } \right)\) ta tìm được GTNN của T bằng\(\dfrac{{11}}{4}\) khi\(m = \dfrac{1}{2}\).

Vậy \({T_{\min }} = \dfrac{{11}}{4} \Leftrightarrow m = \dfrac{1}{2}\).

2. a) Nếu \(x \ge \dfrac{1}{2}\): Phương trình (1) trở thành \(2x – 1 = 3x – 4 \Leftrightarrow x = 3\) (t/m\(x \ge \dfrac{1}{2}\)).

Vậy \(x = 3\) là một nghiệm của phương trình (1).

Nếu\(x < \dfrac{1}{2}\): Phương trình (1) trở thành \( – 2x + 1 = 3x – 4 \Leftrightarrow x = 1\)(không t/m \(x < \dfrac{1}{2}\)).

Vậy\(x = 1\) không là nghiệm của phương trình (1)

Kết luận: Tập nghiệm \(S = \left\{ 3 \right\}\)

b) \(\sqrt {2{x^2} – 4x + 9}  = x + 1\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + 1 \ge 0\\2{x^2} – 4x + 9 = {\left( {x + 1} \right)^2}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge  – 1\\{x^2} – 6x + 8 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = 4\end{array} \right.\,\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array}\)

Kết luận: Nghiệm của phương trình là\(x = 2\); \(x = 4\).

c) Đặt \(t = \sqrt {{x^2} – 2x + 3}  \) \(\Rightarrow {t^2} = {x^2} – 2x + 3 \) \(\Rightarrow {x^2} = {t^2} + 2x – 3\)

Phương trình trở thành \(\left( {x + 1} \right)t = {t^2} + 2x – 2\)

\( \Leftrightarrow {t^2} – \left( {x + 1} \right)t + \left( {2x – 2} \right) = 0{\rm{     }}\left( 1 \right)\)

Ta xem \(\left( 1 \right)\) như là phương trình bậc hai với ẩn là t và x là tham số, lúc đó:

\(\Delta  = {x^2} + 2x + 1 – 8x + 8 = {x^2} – 6x + 9 = {\left( {x – 3} \right)^2}\)

\( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}t = \dfrac{{x + 1 + x – 3}}{2} = x – 1\\t = \dfrac{{x + 1 – x + 3}}{2} = 2\end{array} \right.\).

Với \(t = \sqrt {{x^2} – 2x + 3}  = x – 1 \) \(\Leftrightarrow {x^2} – 2x + 3 = {x^2} – 2x + 1{\rm{   }}\left( {VN} \right)\).

Với \(t = \sqrt {{x^2} – 2x + 3}  = 2\) \( \Leftrightarrow {x^2} – 2x + 3 = 4 \) \(\Leftrightarrow {x^2} – 2x – 1 = 0 \Leftrightarrow x = 1 \pm \sqrt 2 \).

Vậy nghiệm của phương trình là \(x = 1 \pm \sqrt 2 \).

3. \(a)\,\,VT = \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {DB}  + \overrightarrow {CB}  + \overrightarrow {BD}\) \(  = \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {CB}  \) \(= \overrightarrow {AD}  – \overrightarrow {BC}  = VP\)

b) \(\overrightarrow {AM}  = 2\overrightarrow {AB}  \) \(\Leftrightarrow \overrightarrow {GM}  – \overrightarrow {GA}  = 2\overrightarrow {GB}  – 2\overrightarrow {GA} \) \( \Leftrightarrow \overrightarrow {GM}  = 2\overrightarrow {GB}  – \overrightarrow {GA} \)

\(\overrightarrow {AN}  = \dfrac{2}{5}\overrightarrow {AC} \) \( \Leftrightarrow \overrightarrow {GN}  – \overrightarrow {GA}  = \dfrac{2}{5}\overrightarrow {GC}  – \dfrac{2}{5}\overrightarrow {GA} \) \( \Leftrightarrow \overrightarrow {GN}  = \dfrac{2}{5}\overrightarrow {GC}  + \dfrac{3}{5}\overrightarrow {GA} \)\( \Leftrightarrow 5\overrightarrow {GN}  = 2\overrightarrow {GC}  + 3\overrightarrow {GA} \)

\(\overrightarrow {GM}  + 5\overrightarrow {GN}  = \)\(2\overrightarrow {GB}  – \overrightarrow {GA} \)+\(2\overrightarrow {GC}  + 3\overrightarrow {GA} \) =\(2\overrightarrow {GA}  + 2\overrightarrow {GB} \)+\(2\overrightarrow {GC} \)=\(\overrightarrow 0 \)

\( \Leftrightarrow \overrightarrow {GM}  =  – 5\overrightarrow {GN} \).  Vậy G, M, N thẳng hàng.