Kiểm tra 45 phút Chương 2 – Đường tròn Hình học lớp 9: Chứng minh : OM // BN

Cho đường tròn (O; R) đường kính AB. Gọi S là trung điểm của OA. Vẽ đường tròn tâm S đi qua A.

a. Chứng minh (O) và (S) tiếp xúc tại A.

b. Một đường thẳng đi qua A cắt (S) tại M và cắt (O) tại N (M, N khác A). Chứng minh : SM // ON

c. Chứng minh : OM // BN

d. Gọi I là trung điểm của ON, đường thẳng AI cắt BN tại K. Chứng minh: \(BK = 2NK\).

a. Ta có: \(OS = OA – SA (d = R – R’)\)

Vậy (O) và (S) tiếp xúc trong tại A.

b. ∆ASM cân (\(SA = SM = R’\))

\( \Rightarrow {\widehat M_1} = \widehat {MAS}\)

Tương tự ∆AON cân

\(\eqalign{  &  \Rightarrow {\widehat N_1} = \widehat {MAS}  \cr  &  \Rightarrow {\widehat M_1} = {\widehat N_1} \cr} \)

Do đó SM // ON (đồng vị ).

c. Dễ thấy \(\widehat {AMO} = \widehat {ANB} = 90^\circ \) (góc chắn nửa đường tròn)

\(⇒ OM // BN (⊥ AN)\)

d. Kẻ OE // IK, ta có IK là đường trung bình của ∆ONE \(⇒ K\) là trung điểm của NE hay \(KN = KE.\)

Mặt khác trong ∆AKB ta có: OE là đường trung bình nên E là trung điểm của KB hay \(EK = EB\). Vậy \(BK = 2NK.\)

Cách khác : Gọi H là giao điểm của MO và AK, ta có: \(∆OIH = ∆NIK\) (g.c.g)

\(⇒ NK = OH\). Có O là trung điểm của AB, OH // BN (cmt)

\(⇒\) OH là đường trung bình của ∆AKB

\( \Rightarrow OH = {1 \over 2}KB\) hay \(2OH = BK\), mà \(OH = NK ⇒ 2NK = BK.\)