Đề kiểm tra 1 tiết Chương 3 Hình học lớp 9: Chứng tỏ rằng tứ giác MENF nội tiếp.

Bài 1: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) đường kính BC. Tia phân giác của góc BAC cắt đường tròn tại D.

a) Chứng tỏ \(OD \bot BC.\)

b) Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp ∆ABC. Tính góc BIC.

Bài 2: Từ một điểm A ở bên ngoài đường tròn (O), vẽ hai tiếp tuyến AB, AC đến đường tròn ( B và C là các tiếpđ). Từ C vẽ đường thẳng vuông góc với AB cắt AB tại D và cắt (O) tại E. Từ E vẽ EF vuông góc với BC ( F thuộc BC) và EH vuông góc với AC ( H thuộc AC).

a) Chứng minh : \(\widehat {DEF} = \widehat {FEH}.\)

b) Chứng minh : \(EF^2 = ED.EH.\)

c) Gọi N là giao điểm của DF và EB, M là giao điểm của FH và EC. Chứng tỏ rằng tứ giác MENF nội tiếp.

d) Cho \(\widehat {BAC} = 30^\circ \). Tính độ dài cung nhỏ BC và diện tích hình quạt tròn giới hạn bởi hai bán kính OB và OC.

Bài 1:

a) Ta có \(\widehat {{A_1}} = \widehat {{A_2}}\) (gt) \( \Rightarrow \overparen{ DB} = \overparen{ DC}\)

\( \Rightarrow  OD \bot BC\) ( đường kính đi qua điểm chính giữa của dây cung).

b) Ta có \(\widehat A + \widehat B + \widehat C = 180^\circ \)

\( \Rightarrow \widehat B + \widehat C = 180^\circ  – \widehat A\)\(\, = 180^\circ  – 90^\circ  = 90^\circ \) (\(\widehat A = 90^\circ \) vì BC là đường kính).

\( \Rightarrow \dfrac{{\widehat B} }{ 2} + \dfrac{{\widehat C} }{ 2} = 45^\circ \) hay \(\widehat {{B_1}} + \widehat {{C_1}} = 45^\circ \)

Trong ∆BIC có :

\(\widehat {BIC} = 180^\circ  – \left( {\widehat {{B_1}} + \widehat {{C_1}}} \right)\)\(\, = 180^\circ  – 45^\circ  = 135^\circ \).

Bài 2:

a) Ta có tứ giác BDEF nội tiếp ( vì \(\widehat {BDE} + \widehat {{\rm{BF}}E} = 180^\circ \))

\( \Rightarrow \widehat {BDF} + \widehat {{\rm{DEF}}} = 180^\circ \)

Tương tự tứ giác CHEF nội tiếp \( \Rightarrow \widehat {HCF} + \widehat {FEH} = 180^\circ \)

Mà \(\widehat {DBF} = \widehat {HCF}\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Do đó \(\widehat {{\rm{DEF}}} = \widehat {FEH}\)           (1)

b) Ta có \(\widehat {EDF} = \widehat {EBF}\) ( góc nội tiếp cùng chắn cung EF)

                  \(\widehat {EBF} = \widehat {ECH}\) (góc nội tiếp bằng góc giữa tiếp tuyến và một dây cùng chắn cung EC)

                   \(\widehat {ECH} = \widehat {EFH}\) ( góc nội tiếp cùng chắn cung EH)

Do đó \(\widehat {EDF} = \widehat {EFH}\)           (2)

Từ (1) và (2), ta có :

∆EFD và ∆EHF đồng dạng (g.g)

\( \Rightarrow \dfrac{{EF} }{ {EH}} = \dfrac{{ED}}{{EH}} \Rightarrow E{H^2} = ED.EH\).

c) Ta có \(\widehat {EFM} = \widehat {EBC}\) (cmt),

            \(\widehat {NFE} = \widehat {BCE}\) (cmt)

mà \(\widehat {NEM} + \widehat {BCE} + \widehat {EBC} = 180^\circ \) ( tổng ba góc của tam giác)

\( \Rightarrow \widehat {NEM} + \widehat {NEF} + \widehat {EFM} = 180^\circ \) hay \(\widehat {NEM} + \widehat {NFM} = 180^\circ \)

Do đó tứ giác MENF nội tiếp.

d) Dễ thấy tứ giác ABOC nội tiếp (\(\widehat {ABO} + \widehat {ACO} = 180^\circ \))

\( \Rightarrow \widehat {BAC} + \widehat {BOC} = 180^\circ \) mà \(\widehat {BAC} = 30^\circ  \Rightarrow \widehat {BOC} = 150^\circ \)

Vậy \({l_{\overparen{BC}}} =\dfrac{{\pi R.150} }{ {180}} = \dfrac{{5\pi R}}{ 5}\) và \({S_q} = \dfrac{{\pi {R^2}.150} }{ {360}} = \dfrac{{5\pi {R^2}}}{ {12}}.\)