Kiểm tra 45 phút Chương 3 – Góc với đường tròn Hình học lớp 9: Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và AC theo R.

Bài 1: Trên tiếp tuyến tại A của đường tròn (O; R), lấy đoạn \(AI = R\sqrt 3 \).

a) Tính độ dài OI theo R.

b) Đường cao AH của ∆OAI cắt đường tròn (O) tại B. Chứng tỏ IB là tiếp tuyến của (O).

Bài 2: Cho đường tròn (O; R) và một điểm A ở ngoài đường tròn sao cho OA = 3R. Từ A vẽ hai tiếp tuyến AB, AC đến đường tròn ( B, C là hai tiếpđ). Từ B vẽ đường thẳng song song với AC cắt (O) tại D ( D khác B). Đường thẳng AD cắt (O) tại E ( khác D).

a) Chứng minh: \(AB^2 = AE.AD\)

b) Chứng minh: \(BC.EC = AC.BE\)

c) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và AC theo R.

Bài 1:

a) ∆OAI vuông tại A ( tính chẩt tiếp tuyến)

Ta có: \(OI = \sqrt {O{A^2} + A{I^2}}  = \sqrt {{R^2} + {{\left( {R\sqrt 3 } \right)}^2}}  = 2R\).

b) Có \(OH \bot AB\) (gt) nên H là trung điểm của AB ( định lí đường kính dây cung)

∆AOB cân có đường cao OH đồng thời là đường trung tuyến nên \(\widehat {{O_1}} = \widehat {{O_2}}\)

Xét ∆OBI và ∆OAI có :

+) OI cạnh chung,

+) \(\widehat {{O_1}} = \widehat {{O_2}}\) (cmt),

+) \(OB = OA ( = R)\)

Vậy \(∆OBI = ∆OAI\) (c.g.c) \(\Rightarrow \widehat {OBI} = \widehat {OAI} = 90^\circ \)

Chứng tỏ OB là tiếp tuyến của (O).

Bài 2:

a) Ta có \(\widehat {ABE} = \widehat {BDE}\) ( góc giữa tiếp tuyến và một dây bằng góc nội tiếp cùng chắn cung EB)

Do đó ∆ABE và ∆ADB đồng dạng (g.g)

\( \Rightarrow \dfrac{{AD} }{ {AB}} = \dfrac{{AB} }{{AE}}\)

\( \Rightarrow A{B^2} = AE.AD\)

b) Nối CD.

Khi đó \(\widehat {DCx} = \widehat {CED}\) (góc giữa tiếp tuyến và một dây bằng góc nội tiếp cùng chắn cung CD)

BD // AC \( \Rightarrow \widehat {DCx} = \widehat {BDC}\) ( so le trong)

Do đó \(\widehat {BDC} = \widehat {CED}\) mà \(\widehat {CED} + \widehat {CEA} = 180^\circ \) và \(\widehat {BDC} + \widehat {BEC} = 180^\circ \) ( tổng hai góc đối của tứ giác BECD nội tiếp) \( \Rightarrow \widehat {CEA} = \widehat {BEC}\).

Lại có \(\widehat {EBC} = \widehat {ECA}\) (góc nội tiếp bằng góc giữa tiếp tuyến và một dây cùng chắn cung EC)

Do đó ∆BEC và ∆CEA đồng dạng (g.g)

\( \Rightarrow \dfrac{{BC}}{{AC}} = \dfrac{{BE} }{ {EC}}\)

\(\Rightarrow BC.EC = AC.BE\).

c) Gọi BH là khoảng cách giữa hai đường thẳng song song BD và AC.

Xét  tam giác vuông ACO, ta có :

\(AC = \sqrt {A{O^2} – C{O^2}}  = \sqrt {{{\left( {3R} \right)}^2} – {R^2}} \)\(\, = R\sqrt 8 \)

Gọi I là giao điểm của AO và BC ta có AO là đường trung trực của đoạn BC nên AO ^ BC tại I hay CI là đường cao của tam giác vuông ACO ta có : CI.AO = CA.CO ( hệ thức lượng)

\( \Rightarrow CI = \dfrac{{CA.CO} }{ {AO}} = \dfrac{{R\sqrt 8 .R} }{ {3R}} =\dfrac {{R\sqrt 8 } }{ 3} \)

\(\Rightarrow BC = {{2R\sqrt 8 } \over 3}\)

Xét tam giác vuông AIC ta có :

\(AI = \sqrt {A{C^2} – C{I^2}}  \)\(\,= \sqrt {{{\left( {R\sqrt 8 } \right)}^2} – {{\left( {{{R\sqrt 8 } \over 3}} \right)}^2}}  = {{8R} \over 3}\)

Hai tam giác vuông AIC và BHC có \(\widehat {ACI}\) chung nên :

∆AIC và ∆BHC đồng dạng (g.g)

\( \Rightarrow \dfrac{{BH} }{ {AI}} =\dfrac {{BC}}{ {AC}}\)

\( \Rightarrow BH = \dfrac{{AI.BC} }{ {AC}} = \dfrac{{{{8R} \over 3}.{{2R\sqrt 8 } \over 3}}}{ {R\sqrt 8 }} \)\(\,= \dfrac{{{{16{R^2}\sqrt 8 } \over 9}} }{{R\sqrt 8 }} = \dfrac{{16R}}{ 9}\)

Lưu ý : Ta có thể tính khoảng cách CK ( K là giao điểm của CO với BD).