Đề kiểm tra 45 phút Chương 2 Hình học 9: Chứng minh rằng ba điểm E, C, K thẳng hàng.

Bài 1. Cho đường tròn đường kính AB. Kẻ dây CD vuông góc với AB tại điểm I bất kì trên AB. Nối I với trung điểm M của AD. Chứng minh MI vuông góc với BC.

Bài 2. Cho đường tròn (O) đường kính AB. Điểm C nằm giữa A và O. Vẽ đường tròn (O’) có đường kính là CB.

a. Hai đường tròn (O) và (O’) có vị trí tương đối như thế nào ?

b. Kẻ dây DE vuông góc với AC tại trung điểm H của AC. Chứng minh rằng tứ giác ADCE là hình thoi.

c. Gọi K là giao điểm của BD với đường tròn (O’). Chứng minh rằng ba điểm E, C, K thẳng hàng.

d. Chứng minh rằng HK là tiếp tuyến của đường tròn (O’)

Bài 1.

Ta có: \(CD ⊥ AB\) tại I \(⇒ IC = ID\) (định lí đường kính dây cung).

Lại có M là trung điểm của AD (gt) nên IM là đường trung bình của ∆ACD

\(⇒ IM // AC\) (1)

Mà \(\widehat {ACB} = 90^\circ \) (AB là đường kính)

hay \(AC ⊥ BC\) (2)

Từ (1) và (2) ta có: \(MI ⊥ BC\)

Bài 2.

a.  Ta có: \(OO’ = OB – O’B\) (\(d = R – R’\)) \(⇒ (O)\) và \((O’)\) tiếp xúc trong tại B.

b. Ta có: \(DE ⊥ AC\) tại trung điểm H

\(⇒ HD = HE\) (định lí đường kính dây cung)

Do đó tứ giác ADCE là hình thoi.

c. Ta có: \(\widehat {ADB} = 90^\circ \) (AB là đường kính)

hay \(AD ⊥ BD\), mà EC // AD

\(⇒ EC ⊥ BD\) (1)

Lại có \(\widehat {CKB} = 90^\circ \) (CB là đường kính)

hay \(CK ⊥ BD\) (2)

Từ (1) và (2) \(⇒ EC\) và \(KC\) phải trùng nhau.

Vậy ba điểm E, C, K thẳng hàng.

d. Ta có: \(∆BO’K\) cân tại O’ (\(O’B = O’K = R’\)) \( \Rightarrow {\widehat B_1} = {\widehat K_1}\,\left( 3 \right)\)

\(∆EKD\) vuông có HK là đường trung tuyến nên \(HK = HE = {1 \over 2}ED\)

\(⇒ ∆EHK\) cân \( \Rightarrow {\widehat E_1} = {\widehat K_3}\,\left( 4 \right),\,ma\,{\widehat E_1} = {\widehat B_1}\,\left( 5 \right)\) (cùng phụ với \(\widehat {EDB}\) )

Từ (3), (4) và (5) \( \Rightarrow {\widehat K_1} = {\widehat K_3},\) mà \({\widehat K_2} + {\widehat K_1} = 90^\circ  \Rightarrow {\widehat K_3} + {\widehat K_2} = 90^\circ \)

hay \(HK ⊥ O’K\). Chứng tỏ HK là tiếp tuyến của (O’)