Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, các đường cao AD và BE. Tia phân giác của góc DAC cắt BE, BC theo thứ tự tại I và K. Tia phân giác của góc EBC cắt AD, AC theo thứ tự tại M và N. Chứng minh tứ giác MINK là hình thoi.
Ta có \(\widehat {EBC} = \widehat {DAC}\) (cùng phụ với \(\widehat C\) )
\(\widehat {AMN} = \widehat {BMD}\)(đối đỉnh) \( \Rightarrow \widehat {{A_1}} = \widehat {{B_1}}\)
Gọi O là giao điểm của AK và BN ta có:
Advertisements (Quảng cáo)
\(\widehat {OAB} + \widehat {ABO} = \widehat {{A_1}} + \widehat {BAD} + \widehat {ABO}\)
\( = \widehat {{A_1}} + \widehat {BAD} + \left( {\widehat {ABD} – \widehat {{B_1}}} \right)\)
\( = \widehat {{A_1}} + \widehat {BAD} + \widehat {ABD} – \widehat {{B_1}} \)
\(= \widehat {BAD} + \widehat {ABD}\) (Vì \(\widehat {{A_1}} = \widehat {{B_1}}\) cmt)
Advertisements (Quảng cáo)
\( = {90^ \circ }\) (vì \(\widehat {ADB} = {90^ \circ }\) )
Xét \(\Delta AOB\)
\(\Rightarrow \widehat {AOB} = {180^ \circ } – \left( {\widehat {OAB} + \widehat {ABO}} \right)\)\(\; = {180^ \circ } – {90^ \circ } = {90^ \circ }\)
Chứng tỏ \(AK \bot BM\) hay \(IK \bot MN\) (1)
\(\Delta MAN\) có AO là đường cao (cmt) đồng thời là phân giác (gt) \( \Rightarrow OM = ON.\) Tương tự với \(\Delta BIK\) ta có OI = OK. Vậy tứ giác MINK là hình bình hành, kết hợp với (1) ta có MINK là hình thoi.
![[THCS Đông Kinh] thi học kì 2 lớp 8 môn Sử: Từ năm 1858, triều đình Huế đã kí với thực dân Pháp những bản hiệp ước nào?](https://dethikiemtra.com/wp-content/uploads/2019/03/dongphongnha-100x75.jpg)
![[Hoài Nhơn] Thi kì II Văn 8: Thế nào là câu cầu khiến? Trong những đoạn trích sau, câu nào là câu cầu khiến?](https://dethikiemtra.com/wp-content/uploads/2016/04/van-8-t2-100x75.jpg)
