Kiểm tra 45 phút Chương 1 môn Đại số 8 – Phép nhân và phép chia các đa thức: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

Bài 1. Rút gọn biểu thức:

a) \(A = \left( {2x + 3} \right)\left( {4{x^2} – 6x + 9} \right) – 2\left( {4{x^3} – 1} \right).\)

b) \(B = {\left( {x – 1} \right)^3} – 4x\left( {x + 1} \right)\left( {x – 1} \right) + 3\left( {x – 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)\).

Bài 2. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) \({x^2} – {y^2} – 3x + 3y\)

b) \({\left( {b – a} \right)^2} + \left( {a – b} \right)\left( {3a – 2b} \right) – {a^2} + {b^2}.\)

Bài 3. Tìm x, biết: \({\left( {2x – 1} \right)^2} – {\left( {3x + 4} \right)^2} = 0.\)

Bài 4. Tìm m để đa thức \(A\left( x \right) = {x^4} – {x^3} + 6{x^2} – x + m\) chia cho đa thức \(B(x) = {x^2} – x + 5\) có số dư bằng 2.

Bài 5. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: \(P(x) =  – {x^2} + 2x + 5.\)

Bài 1. a) \(A=\left( {8{x^3} + 27} \right) – 2\left( {4{x^3} – 1} \right) \)

\(= 8{x^3} + 27 – 8{x^3} + 2 = 29.\)

b) \(B = {x^3} – 3{x^2} + 3x – 1 – 4x\left( {{x^2} – 1} \right) + 3\left( {{x^3} – 1} \right)\)

\( = {x^3} – 3{x^2} + 3x – 1 – 4{x^3} + 4x + 3{x^3} – 3 \)

\(=  – 3{x^2} + 7x – 4.\)

Bài 2. a) \({x^2} – {y^2} – 3x + 3y \)

\(= \left( {{x^2} – {y^2}} \right) – 3\left( {x – y} \right)\)

\(= \left( {x – y} \right)\left( {x + y – 3} \right).\)

b) \({\left( {b – a} \right)^2} + \left( {a – b} \right)\left( {3a – 2b} \right) – {a^2} + {b^2}\)

=\({\left( {a – b} \right)^2} + \left( {a – b} \right)\left( {3a – 2b} \right) – \left( {{a^2} – {b^2}} \right)\)

=\(\left( {a – b} \right)\left( {a – b + 3a – 2b – a – b} \right) \)

\(= \left( {a – b} \right)\left( {3a – 4b} \right).\)

Bài 3. Ta có:

\({\left( {2x – 1} \right)^2} – {\left( {3x + 4} \right)^2} \)

\(= \left( {2x – 1 + 3x + 4} \right)\left( {2x – 1 – 3x – 4} \right)\)

\(=\left( {5x + 3} \right)\left( { – x – 5} \right)\)

Vậy \(\left( {5x + 3} \right)\left( { – x – 5} \right) = 0\)

\(\Rightarrow 5x + 3 = 0\) hoặc \(x =  – 5.\)

\( \Rightarrow x =  – {3 \over 5}\) hoặc \(x =  – 5.\)

A(x) chia cho B(x) có dư bằng 2. Vậy \(m – 5 = 2 \Rightarrow m = 7.\)

Bài 5. Ta có:

\(P(x) =  – {x^2} + 2x – 1 + 6 \)

\(\;\;\;\;= 6 – \left( {{x^2} – 2x + 1} \right)\)

\(\;\;\;\; = 6 – {\left( {x – 1} \right)^2} \le 6\) vì \({\left( {x – 1} \right)^2} \ge 0,\) với mọi x.

Vậy giá trị lớn nhất của P(x) bằng 6.

Dấu “=” xảy ra khi \(x – 1 = 0\) hay \(x = 1.\)