Đề kiểm tra 45 phút Chương 2 Hình học 8 – Đa giác, diện tích đa giác: Hai đường chéo của một hình thang vuông góc với nhau và có độ dài 3,6cm và 6cm. Tính diện tích hình thang.

Bài 1. Hai đường chéo của một hình thang vuông góc với nhau và có độ dài 3,6cm và 6cm. Tính diện tích hình thang.

Bài 2. Cho tam giác ABC cân tại A, một điểm D bất kì trên đáy BC, kẻ \(DE \bot AB,DF \bot AC.\) Chứng minh rằng tổng DE + DF không phụ thuộc vào vị trí điểm D trên cạnh BC.

Bài 3. Cho hình thang ABCD (AB là đáy nhỏ). Qua trung điểm I của BC kẻ đường thẳng song song với AD lần lượt cắt AB tại M và CD tại N.

a) Chứng minh rằng: \({S_{ABCD}} = {S_{AMND}}.\)

b) Kẻ AH, DK lần lượt vuông góc với MN, chứng minh: \({S_{ABCD}} = {S_{AHKD}}.\)

Bài 1.

Gọi O là giao điểm hai đường chéo AC và BD. Ta có:

\({S_{ADC}} = {1 \over 2}AC.OD\)

\({S_{ABC}} = {1 \over 2}AC.OB\)

\( \Rightarrow {S_{ADC}} + {S_{ABC}} = {1 \over 2}AC\left( {OD + OB} \right)\)

Hay \({S_{ABCD}} = {1 \over 2}AC.BD = {1 \over 2}.6.3,6 \)\(\,= 10,8\left( {c{m^2}} \right).\)

Cách 2:  Sử dụng trực tiếp công thức tính diện tích tứ giác có hai đường chéo vuông góc.

Bài 2.

Kẻ đường cao BH. Ta có: \({S_{ADB}} + {S_{ADC}} = {S_{ABC}}\)

Hay \({1 \over 2}AB.DE + {1 \over 2}AC.DF = {1 \over 2}AC.BH\)

Vì \(AB = AC(gt)\)

\(\Rightarrow AC.DE + AC.CF = AC.BH\)

\( \Rightarrow AC\left( {DE + DF} \right) = AC.BH\)

\( \Rightarrow DE + DF = BH\) (không đổi).

Bài 3.

a) Ta có: \(\Delta BIM = \Delta CIN\left( {g.c.g} \right)\)

\(\Rightarrow {S_{BIM}} = {S_{CIN}}\)

Mà \({S_{ABCD}} = {S_{ABIND}} + {S_{CIN}}\)

\({S_{AMND}} = {S_{ABIND}} + {S_{BIM}}\)

\( \Rightarrow {S_{ABCD}} = {S_{AMND}}.\)

b) Ta có \(\widehat {AMN} = \widehat {MNC}\) (so le trong),

\(\widehat {MNC} = \widehat {DNK}\) (đối đỉnh)

\( \Rightarrow \widehat {AMN} = \widehat {DNK}\)

Lại có AH và DK cùng vuông góc với MN (gt) nên các tam giác AHM và DKN bằng nhau (cạnh huyền – góc nhọn)

\( \Rightarrow {S_{AHM}} = {S_{DKN}}.\)

Khi đó \({S_{AHKD}} = {S_{AHND}} + {S_{DKN}}\) và \({S_{AMND}} = {S_{AHND}} + {S_{AHM}}\)

\( \Rightarrow {S_{AHKD}} = {S_{AMND}}\) và \({S_{AMND}} = {S_{ABCD}} \Rightarrow {S_{ABCD}} = {S_{AHKD}}.\)