Bài 1,2,3,4,5, 6,7,8 trang 62,63 Toán Đại số 10: Phương trình quy về PT bậc nhất, bậc hai

Tóm tắt lý thuyết và Giải bài 1,2,3,4,5,6,7 trang 62 và bài 8 trang 63 SGK Đại số 10: Phương trình quy về phương trình bậc nhất, bậc hai – Chương 3.

A. Lý thuyết cần nhớ về Phương trình quy về phương trình bậc nhất, bậc hai

1. Giải và biện luận phương trình dạng ax + b = 0 (1)

• a≠ 0 : (1) có nghiệm duy nhất x = -b/a.
• a = 0; b ≠ 0; (1) vô nghiệm.
• a=0; b = 0: (1) nghiệm đúng với mọi x ∈ R.
• Ghi chú: Phương trình ã + b = 0 với a ≠ 0 được gọi là phương trình bậc nhất một ẩn (x)

2. Phương trình bậc hai một ẩn ax² + bx + c= 0 (a ≠ 0) (2)

∆ = b² -4ac được gọi là biệt thức của phương trình (2).

+ ∆ > 0 thì (2) có nghiệm phân biệt x_1,2 = (-b ± √∆)/2a

+ ∆ = 0 thì (2) có 2 nghiệm kép x _{= -b/2a}

+  ∆ < – thì (2) vô nghiệm.

3. Định lí Vi-ét

Nếu phương trình bậc hai ax² + bx + c= 0 (a ≠ 0) có hai nghiệm x₁,  x₂ thì

x₁ + x₂ = -b/a,  x₁x₂= c/a.

Đảo lại: Nếu hai số u và v có tổng u + v =S và tích u.v = P thì u, v là các nghiệm của phương trình: x² – Sx + P = 0.

4. Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối

Cách giải phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối là đặt các điều kiện xác định để đưa phương trình có dấu giá trị tuyệt đối thành phương trình không dấu giá trị tuyệt đối.

5. Phương trình chứa dấu căn

Đường lối chung để giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn là đặt điều kiện rồi lũy thừa một cách thích hợp hai vế của phương trình để làm mất dấu căn thức.

B. Giải bài tập SGK Đại số 10 trang 62, 63

Bài 1.

a) ĐKXĐ:

2x + 3 ≠ 0 ⇔ x ≠ -3/2.

Quy đồng mẫu thức rồi khử mẫu thức chung thì được

4(x² + 3x + 2) = (2x – 5)(2x + 3) => 12x + 8 = – 4x – 15

=>  x = -23/16 (nhận).

b) ĐKXĐ: x ≠ ± 3. Quy đồng mẫu thức rồi khử mẫu thì được

(2x + 3)(x + 3) – 4(x – 3) = 24 + 2(x² -9)

=> 5x = -15 => x = -3 (loại). Phương trình vô nghiệm.

c) Bình phương hai vế thì được: 3x – 5 = 9 => x = 14/3 (nhận).

d) Bình phương hai vế thì được: 2x + 5 = 4 => x = – 1/2.

---

Bài 2. Giải và biện luận các phương trình sau theo tham số m

a) m(x – 2) = 3x + 1;

b) m²x + 6 = 4x + 3m;

c) (2m + 1)x – 2m = 3x – 2.

Lời giải: a) ⇔ (m – 3)x = 2m + 1.

• Nếu m ≠ 3 phương trình có nghiệm duy nhất x = (2m+1)/(m-3).
• Nếu m = 3 phương trình trở thành 0x = 7. Vô nghiệm.

b) ⇔ (m² – 4)x = 3m – 6.

• Nếu m² – 4 ≠ 0 ⇔ m ≠ ± 2, có nghiệm x = (3m-6)/(m² – 4) = 3/(m+2).
• Nếu m = 2, phương trình trở thành 0x = 0, mọi x ∈ R đều nghiệm đúng phương trình.
• Nếu m = -2, phương trình trở thành 0x = -12. Vô nghiệm.

c) ⇔ 2(m – 1)x = 2(m-1).

• Nếu m ≠ 1 có nghiệm duy nhất x = 1.
• Nếu m = 1 mọi x ∈ R đều là nghiệm của phương trình.

---

Bài 3. Có hai rổ quýt chứa số quýt bằng nhau. Nếu lấy 30 quả ở rổ thứ nhất đưa sang rổ thứ hai thì số quả ở rổ thứ hai bằng 1/3 của bình phương số quả còn lại ở rổ thứ nhất. Hỏi số quả quýt ở mỗi rổ lúc ban đầu là bao nhiêu ?

Lời giải: Gọi x là số quýt chứa trong một rổ lúc đầu. Điều kiện x nguyên, x > 30. Ta có phương trình 1/3(x – 30)² = x + 30 ⇔ x² – 3x + 810 = 0 ⇔ x = 45 (nhận), x = 18 (loại).

Số quýt ở mỗi rổ lúc đầu: 45 quả.

---

Bài 4 Đại số 10 trang 62. Giải các phương trình

a) 2x⁴ – 7x² + 5 = 0;

b) 3x⁴ + 2x² – 1 = 0.

Lời giải: a) Đặt x² = t  ≥  0 ta được 2t² – 7t + 5 = 0, t ≥  0

2t² – 7t + 5 = 0  ⇔ t₁ = 1 (nhận), t₂ = 5/2 (nhận).

Suy ra nghiệm của phương trình ẩn x là x_1,2 = ±1, x_3,4 = ±  √10/2.

b) Đặt x² = t  ≥  0 thì được 3t² + 2t – 1 = 0 ⇔ t₁ = -1 (loại), t₂ = 1/3 (nhận).

Suy ra nghiệm của phương trình ẩn x là x_1,2 = ± √3/3

---

Bài 5. Giải các phương trình sau bằng máy tính bỏ túi (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ ba)

a) 2x² – 5x + 4 = 0;

b) -3x² + 4x + 2 = 0;

c) 3x² + 7x + 4 = 0;

d) 9x² – 6x – 4 = 0.

Lời giải:

---

Bài 6. Giải các phương trình.

a) |3x – 2| = 2x + 3;

b) |2x -1| = |-5x – 2|;

c) (x-1)/(2x-3) = (-3x+1)/(|x+1|)

d) |2x + 5| = x² +5x +1.

Giải bài 6: a) ĐKXĐ: 2x + 3 ≥ 0. Bình phương hai vế thì được:

(3x – 2)² = (2x + 3)² => (3x – 2)² – (2x + 3)² = 0

⇔ (3x -2 + 2x + 3)(3x – 2 – 2x – 3) = 0

=> x₁ = -1/5 (nhận), x₂ = 5 (nhận)

Tập nghiệm S = {-1/5; 5}.

b) Bình phương hai vế:

(2x – 1)² = (5x + 2)² => (2x – 1 + 5x + 2)(2x – 1 – 5x – 2) = 0

=> x₁ = -1/7, x₂ = -1.

c) ĐKXĐ: x ≠ 3/2, x ≠ -1. Quy đồng rồi khử mẫu thức chung

(x – 1)|x + 1| = (2x – 3)(-3x + 1)

•  Với x ≥ -1 ta được: x² – 1 = -6x² + 11x – 3 => x₁ = (11 – √65)/14 ;
  x₂ = (11 + √65)/14 .
•  Với x < -1 ta được: -x² + 1 = -6x² + 11x – 3 => x₁ = (11 – √41)/10 (loại vì không thỏa mãn đk x < -1); x₂ = (11 + √41)/10 (loại vì x > -1)

Kết luận: Tập nghiệm S = {(11 – √65)/14; (11 + √65)/14}

d) ĐKXĐ: x² +5x +1 > 0

• Với x ≥ -5/2 ta được: 2x + 5 = x² + 5x + 1
  => x₁ = -4 (loại); x₂ = 1 (nhận)
• Với x < -5/2 ta được: -2x – 5 = x² + 5x + 1

=> x₁ =-6 (nhận); x₂ = -1 (loại).

Kết luận: Tập nghiệm S = {1; -6}.

---

Bài 7. 

Giải ĐKXĐ: x – 6 ≥ 0 ⇔ x > 6. Bình phương hai vế thì được 5x + 6 = (x – 6)² ⇔ x₂ = 2 (loại), x₂ = 15 (nhận).

b) ĐKXĐ: – 2  ≤  x ≤  3. Bình phương hai vế thì được 3 – x = x + 3 + 2√(x+2)
⇔ -2x = 2√(x+2).

Điều kiện x ≤ 0. Bình phương tiếp ta được:

x² = x + 2 => x₁ = -1 (nhận); x₂ = 2 (loại).

Kết luận: Tập nghiệm S {-1}.

c) ĐKXĐ: x ≥ -2.

=> 2x² + 5 = (x + 2)² => x² – 4x + 1 = 0

=> x₁ =2 – √3 (nhận), x₂ = 2 +√3 (nhận).

d) ĐK: x ≥ -1/3.

=> 4x² + 2x + 10 = (3x + 1)² => x₁ =-9/5(loại), x₂ = 1 (nhận).

---

Bài 8.  Cho phương trình 3x² – 2(m + 1)x + 3m – 5 = 0.

Xác định m để phương trình có một nghiệm gấp ba nghiệm kia. Tính các nghiệm trong trường hợp đó.

Giải. Giả sử phương trình có hai nghiệm x₁ và x₂ với x₂ = 3x₁.Theo định lí Viet ta có:

x₁ + x₂ = 4 x₁ = [2(m+1)]/3 => x₁ = (m+1)/6.

Thay x₁ = (m+1)/6 vào phương trình ta được 3[(m+1)/6]² -2(m + 1).

(m+1)/6 + 3m – 5 = 0

⇔ -3m² + 30m – 63 = 0 ⇔ m₁ =3, m₂ =7.

Thay m = 3 vào phương trình ta thấy pt có hai nghiệm x₁ = 2/3; x₂ = 2.

Với m = 7 ta có hai nghiệm x₁ = 4/3; x₂ = 4.