Đề kiểm tra 15 phút môn Toán Chương 2 Hình học 8: Chứng minh: tứ giác MNPQ là hình bình hành

Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm củ các cạnh AB, BC, CD và DA

a) Chứng minh: tứ giác MNPQ là hình bình hành.

b) Chứng minh: \({S_{MNPQ}} = \dfrac{1}{2}{S_{ABCD.}}\)

a) Ta có MN là đường trung bình của \(\Delta ABC\)

\( \Rightarrow MN// AC\) và \(MN = {1 \over 2}AC\)

Tương tự \(QP//AC\) và \(QP = {1 \over 2}AC\)

Do đó \(MN// QP\) và MN = QP

Vậy tứ giác MNPQ là hình bình hành.

b) Ta có: \({S_{BMN}} = \dfrac{1 }{ 4}{S_{ABC}};{S_{DPQ}} = \dfrac{1 }{4}{S_{ACD}}\)

\( \Rightarrow {S_{BMN}} + {S_{DPQ}} = \dfrac{1 }{ 4}\left( {{S_{ABC}} + {S_{ACD}}} \right) \)\(\,= \dfrac{1 }{ 4}{S_{ABCD.}}\)

Tương tự \({S_{CNP}} + {S_{AMQ}} = \dfrac{1 }{4}{S_{ABCD}}\)

Do đó: \({S_{BMN}} + {S_{DQP}} + {S_{CNP}} + {S_{AMQ}} \)\(\,= \dfrac{1}{2}{S_{ABCD}}.\)

Vậy: \({S_{MNPQ}} = \dfrac{1 }{ 2}{S_{ABCD.}}\)