Đề kiểm tra học kì 2 Toán 7: Hỏi khi tuổi cha gấp ba lần tuổi con thì con bao nhiêu tuổi?

1.(4đ)

a) Tìm x, biết:\(\dfrac{{x + 2}}{{327}} + \dfrac{{x + 3}}{{326}} + \dfrac{{x + 4}}{{325}} + \dfrac{{x + 5}}{{324}} \)\(\,+ \dfrac{{x + 349}}{5} = 0\)

b) Tìm các số nguyên x và y biết: .\(\dfrac{5}{x} + \dfrac{y}{4} = \dfrac{1}{8}\).

2.(3đ)

Cho a, b, c thỏa mãn:

\(\dfrac{{b – c}}{{(a – b)(a – c)}} + \dfrac{{c – a}}{{(b – a)(b – c)}} \)\(\,+ \dfrac{{a – b}}{{(c – a)(c – b)}} = 2018\)

Tính giá trị của biểu thức \(A = \dfrac{1}{{a – b}} + \dfrac{1}{{b – c}} + \dfrac{1}{{c – a}}\)

3.(4đ)

Cho đa thức: \(P(x)=(a + 9){x^3} + (b + 6)x + 2018\) (a, b là hằng số)

Biết P(-7) = 4. Tính P(7)

4.(3đ)

Hiện nay tuổi cha bằng 2,2 lần tuổi con. Trước đây 25 năm tuổi con bằng \(\dfrac{5}{{41}}\) tuổi cha. Hỏi khi tuổi cha gấp ba lần tuổi con thì con bao nhiêu tuổi?

5.(6đ)

Cho tam giác ABC vuông tại A, tia phân giác BD của góc B cắt AC tại D. Trên BC lấy điểm E sao cho AB = BE.

a) Chứng minh BC – BA > CD – DA

b) Kẻ AH vuông góc với BC (H thuộc BC). So sánh EH và EC.

1.

b)

\(\eqalign{
& {5 \over x} + {y \over 4} = {1 \over 8} \cr
& \Leftrightarrow {5 \over x} + {{2y} \over 8} = {1 \over 8} \cr
& \Leftrightarrow {5 \over x} = {{1 – 2y} \over 8} \cr
& \Leftrightarrow x(1 – 2y) = 40 \cr} \)

\( \Rightarrow 1 – 2y\) là các ước số lẻ của 40 \(\Rightarrow 1 – 2y \in \{  \pm 1; \pm 5\} \)

2.

3.

a)

Ta có: P(7) = (a + 9).7³ + (b + 6).7 + 2018

          P(-7) = (a + 9).(–7)³ + (b + 6).(–7) + 2018

Do đó: P(7) + P(–7) = 2018 + 2018 = 4036

\(\Rightarrow\) P(7) = 4036 – P(–7) = 4036 – 4 = 4032

b)

– Với x = 2 ta có 2² + 117 = 121 = y²

\(\Rightarrow\) y = 11 (thỏa mãn y là số nguyên tố)

– Với x > 2, do x là số nguyên tố nên x là số lẻ.

Suy ra y² = x² + 117 là số chẵn, y > 2

– Có y là số chẵn, y > 2 mà y là số nguyên tố \(\Rightarrow\) không có giá trị nào của y.

– Vậy x = 2; y = 11.

4. Gọi tuổi cha và tuổi con hiện nay lần lượt là x và y (tuổi)

(x, y \(\in\) Z, x, y > 0)

Tỉ số giữa tuổi cha và tuổi con hiện nay là \(\dfrac{x}{y} = 2,2 = \dfrac{{11}}{5}\) và trước đây 25 năm là \(\dfrac{{x – 25}}{{y – 25}} = \dfrac{{41}}{5}\)

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có: \(\dfrac{x}{{11}} = \dfrac{y}{5} = \dfrac{{x – y}}{6}\)

và \(\dfrac{{x – 25}}{{41}} = \dfrac{{y – 25}}{5} = \dfrac{{x – y}}{{36}}\)

\( \Rightarrow \dfrac{x}{{66}} = \dfrac{y}{{30}} = \dfrac{{x – 25}}{{41}} = \dfrac{{y – 25}}{5} \)\(\,= \dfrac{{x – y}}{{36}} = k\)

\( \Rightarrow k = \dfrac{{x – (x – 25)}}{{66 – 41}} = 1\)

Vậy hiện nay tuổi cha là 66, tuổi con là 30.

Vì k = 1 \(\Rightarrow\) x – y = 36. Gọi tuổi cha và con khi tuổi cha gấ 3 lần tuổi con lần lượt là a và b, ta có a – b = x – y. (Hiệu giữa tuổi cha và con không đổi)

\( \Rightarrow \dfrac{a}{3} = \dfrac{b}{1} = \dfrac{{a – b}}{{3 – 1}} = \dfrac{{36}}{2} = 18\)

Vậy khi tuổi cha gấp 3 lần tuổi con. Khi đó con 18 tuổi.

5.

a) Xét  \(\Delta ABD\) và \(\Delta EBD\)

+) AB = BE

+) DB chung

+) \(\widehat {ABD} = \widehat {EBD}\)  (Vì BD là phân giác)

Suy ra: \({\rm{\Delta ABD  =  \Delta EBD}}\) (c.g.c)

– Suy ra DA = DE và DE \(\bot\) BC

Tam giác EDC có: EC > CD – DE = CD – DA

Suy ra BC – BA > CD – DA

Có AH // DE \( \Rightarrow \widehat {{\rm{HAE}}}{\rm{  =  }}\widehat {{\rm{AED}}}\) (SLT)

Tam giác ADE cân \( \Rightarrow \widehat {{\rm{DAE}}}{\rm{  =  }}\widehat {{\rm{AED}}}\)

Suy ra AE là phân giác của \(\widehat {{\text{HAC}}}\)

Kẻ EF \(\bot\) AC \(\Rightarrow\) \(\Delta AHE = \Delta AFE\) (1)

Tam giác EFC vuông tại F \(\Rightarrow\) EC > EF   (2)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\) EC > HE.